内容发布更新时间 : 2024/11/17 19:46:14星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

??1?p?i?1?i?1?1?p?2???1??2?i?1?i?i?11i??1?i??2?????2??1?? 2i?1?2?i?1i?1i（2）期望效用为：

??1?p?i?1?i?1?i?1p?ln?2????1?p?ii?1i?1?p?iln2?pln2?i?1?p?i?1?i?1

（3）先求无穷级数?i?1?p?令A??i?1?p?i?1??i?1。

2i?1?1?2?1?p??3?1?p??????i?1?p?i2??i?1??1?p????? ①

i?1ii则?1?p?A??i?1?p??1?p?2?1?p???????i?1??1?p??i?1?p????? ②

i?1①－②可得：

pA?1??1?p???1?p???????1?p?2i?1??1?p??????i11?

1??1?p?p从而A??i?1?p?i?1?i?1?11ln2i?1。 ?2，所以pln2?i?1?p??pln2?2?pppi?1

21．设张三仅消费x和y两种商品，他的效用函数为U?L0.57x0.06y0.09，其中L是张三每周的闲暇小时数。试求他最大化其效用函数时：

（1）他将选择每周工作多少小时？

（2）他将把收入的多大比例用于购买x？ （3）他消费x的需求价格弹性。

（4）如果他的收入下降30%，y的价格下降50%，他将过得更好还是更坏？

解：（1）闲暇的价格可以被认为是工资率w，则每周的总收入为?24?7?L?w?168w?Lw。假设商品x和y的价格分别为Px和Py。

因此，张三的效用最大化问题为：

570．maxU?L0．x06y0.09s..t Px?x?Py?y??168?L?w

拉格朗日函数为：

570．??L0．x06y0.09???Px?x?Py?y?w?L?168w?

一阶条件为：

???0.57L?0.43x0.06y0.09??w?0 ① ?L???0.06L0.57x?0.94y0.09??Px?0 ② ?x???0.09L0.57x0.06y?0.91??Py?0 ③ ?y???168w?Px?x?Py?y?w?L?0 ④ ??由①②可得：由①③可得：

57xw2???Pxx?wL ⑤ 6LPx1957yw3???Pyy?wL ⑥ 9LPy19将⑤⑥代入④中，化简得168w?y?3wL399w21w。 ??19Py19PyPy2wL266w14w24，??wL?0，解得L?133。从而x?19Px19PxPx19因此，该工人每周工作的时间为：168?L?168?133?35（小时）。

（2）该工人每周的总收入为：

?168?L?w?35w

所以，该消费者用于x的商品的支出比例为：

Px?x14w??0.4。 35w35w（3）由x??14w?Px?xPx14w?????2???1。可得，消费x的需求价格弹性为：E?? ?Pxx14w/PPPxxx??（4）原先消费者的效用为：

?14w?U?1330.57???Px?0.06?21w???P???y?0.09??1330.57?140.06?210.09?w0.15Px?0.06Py?0.09

由（1）可知，收入增加、商品y的价格变化不会改变张三的工作与休闲的时间。收入下降30%主要表现为工资率减少30%。

因此，当收入下降30%，y的价格下降50%时，张三的效用为：

U??1330.57?140.06?210.09?0.7w? ??1330.570.15Px?0.06?0.5Py?Py?0.09?0.09?140.06?210.09?w0.15Px?0.06?0.70.150.5?0.09

因为0.70.150.5?0.09?1，所以，U??U，因而消费者将过得更好。

22．一个消费者仅消费两种物品，表2-1是他实际消费的部分信息。

表2-1 消费者的消费信息

物品1 物品2 第一年 数量 100 100 价格 100 100 数量 120 ？ 第二年 价格 100 80 问该消费者在第二年购买物品2的数量y在什么范围内： （1）表明他的消费行为是不一致的，即违背了偏好显示的弱定理。 （2）消费者第一年的消费束显示偏好于第二年的消费束。 （3）消费者第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束。

（4）物品1对于消费者而言是劣等品（假设满足偏好显示的弱定理）。 （5）物品2对于消费者而言是劣等品（假设弱定理满足）。 解：（1）若消费者违背了偏好显示的弱公理，则有：

120?100?100y?100?100?100?100 100?100?100?80?120?100?80y

可得：y?[75,80]。

（2）若第一年的消费束显示偏好于第二年的消费束，则有：

120?100?100y?100?100?100?100 100?100?100?80?120?100?80y 则第一年的消费显示偏好于第二年的消费束。此时y?75。 （3）若第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束，则有：

100?100?100?80?120?100?80y

120?100?100y?100?100?100?100时

可得：y?80。即当y?80第二年的消费束显示偏好于第一年的消费束。 （4）当y?75时，物品1是劣等品。证明如下： 当y?75时，有：

120?100?100y?100?100?100?100 100?100?100?80?120?100?80y

显然，由第一年到第二年，真实财富下降，而物品1的相对价格上升。

但是由于y?75?100，物品2的需求下降。这意味着物品1的收入效应为负，因而是劣等品。

（5）当80?y?100时，物品2是劣等品。证明： 当80?y?100，有：

100?100?100?80?120?100?80y 120?100?100y?100?100?100?100

因此，由第一年到第二年，真实财富增加。而且物品2的相对价格下降。但是由于y?100，物品2的需求下降。这意味着物品２的收入效应为负，因而是劣等品。

23．用显示性偏好理论证明替代效应是负的。

证明：假设有两种商品x和y。对于两个商品束A?xa,ya?和B?xb,yb?而言，对应的价格

aa,py分别为?px?，?pxb,pby?，并且这两个商品束由于处于同一条无差异曲线上而对消费者具有

相同的偏好。

aa,py消费者在?px?的价格空间下选择A而不选择B（实际上根据假定A和B是无差异

的），根据显示性偏好公理，可知此时选择A的支出至少不会比选择B的支出高，即：

aaaapxxa?pyya?pxxb?pyyb

a亦即：px?xa?xb??pya?ya?yb??0 ①

b,pb同理，消费者在?pxy?的价格空间下选择B而不选择A，可知此时选择B的支出至少

不会比选择A的支出高，即：

baapxxb?pbyyb?pxxa?pyya

b亦即：px?xb?xa??pby?yb?ya??0 ②

将①式和②式相加就可以得到：

?xa?xb??pxa?pxb???ya?yb??pya?pby??0 ③

a?pb假设y商品的价格保持不变，即py则③式就可以写成：?x??px?0。不取等号是y，

因为商品x的价格和数量同时变动，所以二者乘积必不为零。

此式亦可以写成：一定为负。

24．设某消费者面临两时期的消费决策。效用函数是U?C1C20.6，两时期的收入分别为y1?1000，y2?648，市场利率为0.08。确定消费者的各个时期的消费量C1，C2，并指出

?x?px?0。这就是当商品x价格变动所引起的替代效应，并且符号

U?U0消费者在第一期将会借入还是会贷出。

解：该消费者面临的最优决策问题为：

maxC1C20.6C1,C2

C2648s.. tC1??1000??16001?0.081?0.08

构造拉格朗日函数可得：

C2??L?C1C20.6???1600?C1?? 1?0.08??一阶条件为：

?L0.6?C2???0 ?C1?L??0.6C1C2?0.4??0 ?C21?0.08C2?L?1600?C1??0 ??1?0.08解得：C1?1000，C2?648。

可见，该消费者在第一期既没有借入也没有贷出。

26．假设一个消费者的效用函数为：U?x,y??x2y，x为食品的消费量，y为所有其他商品的消费量。假设食品的价格为p1，所有其他商品的价格为p2，收入为m元。 （1）求最优的食品需求量。食品对该消费者来说是低档品吗？食品对该消费者来说是吉芬商品吗？

（2）在许多国家，穷人的食品消费得到政府的补贴。常见的补贴办法是，政府向穷人出售食品券，当然，食品券的价格低于食品的市场价格。假如我们这里考虑的消费者是一个受补贴的穷人。而且食品券的价格为p1?1，食品的市场价格为pt?2。所有其他商品的价格被标准化为p2?1。消费者的收入为m?150。问得到补贴后，消费者的消费行为会发生怎样的变化？

解：（1）由消费者均衡条件

MU1p12xyp可以得到：2?1，即p1x?2p2y。 ?MU2p2p2x将该式代入预算约束方程p1x?p2y?m， 可得最优消费数量y??由于由于

m2m，x??。

3p23p1?x2??0，所以食品属于正常商品。 ?m3p1?x2m ??2?0，价格与需求量反向变动，符合需求法则，所以食品不是吉芬商品。

?p13p12mm?100 ?50，x??3p13p22mm?50 ?50，x??3p13p2（2）当m?150，发放补贴时，p1?1，p2?1，此时：

y??而不发补贴时，p1?2，p2?1，此时：

y??可见，发放补贴的结果是使得食品x的消费增加了一倍，而其他商品的消费支出并不会

发生变化。

27．一个人年轻时候的收入为y，一生分为两个时期，maxU?lnC1??lnC2，C1?a?y，

C2?a?1?r?，1???0，这些参数都大于0。

（1）求效用最大化时两个时期分别消费多少，并用图形表示。 （2）当?和r变大时，C1、C2怎么变，并用图形表示。 （3）当y增大时，C1、C2怎么变，并用图形表示。 解：（1）这个两时期最优消费问题可以重新表述为：

maxU?lnC1??lnC2C1,C2Cs.. tC1?2?y1?r

构造拉格朗日函数：

C??L?lnC1??lnC2???y?C1?2?

1?r??效用最大化的一阶条件为：

?L1????0 ?C1C1?L?????0 ?C2C21?r联立上述两个式子，可得：

C2???1?r? C1代入预算约束方程C1?C2?y??1?r?1??C2y?y，可得跨时期最优消费数量为：C1?，1?r1??。如图2-7所示：