内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:15:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二章 二次函数
§2.1 二次函数所描述的关系
学习目标:1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习重点: 1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
学习难点:经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 学习方法:讨论探索法. 学习过程:
1. 你知道什么叫二次函数吗?你否举出生活中关于二次函数的例子吗? 2.下列函数中是二次函数的有( ) ①y?x?11;②y?3(x?1)2?2;③y?(x?3)2?x2;④y?2?x xxA.1个 B.2个 C.3个 D.4个
课堂研讨:
自主完成:下面各题
①某果园有100棵橙子树,每一棵树平均结600个橙子,现准备多种一些橙子树以提高产量,但是如果多种树,那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计,每多种一棵树,平均每棵树就会少结5个橙子.
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种;棵橙子树,那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个,那么请你写出y与x之间的关系式.
2②圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时,圆的面积增加ycm。写出变量y与x之间的关系:
③正方形的边长是5,若边长增加x,面积增加y,求y与x之间的函数表达式:
④如果人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转
存,到期支取时,请你写出两年后支付时的本息和y(元)与年利率x的函数表达式: ⑥某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时,每天可以售出300套.据市场调查发现,这种服装每提高1元售价,销量就减少5套,如果商场将售价定为x,请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式.: 小组讨论:
(1)上面的问题中两个变量的关系是不是二次函数关系? (2)你还能举出哪些生活中的二次函数的实例? 课堂练习: 1.函数y=(m+2)x
m2?2+2x-1是二次函数,则m= .
1
2.下列不是二次函数的是( )
12
A.y=3x+4 B.y=-xC.y=
x2?5 D.y=(x+1)(x-2) 32
3.函数y=(m-n)x2+mx+n是二次函数的条件是( )
A.m、n为常数,且m≠0 C.m、n为常数,且n≠0
B.m、n为常数,且m≠n D.m、n可以为任何常数
4.已知函数y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数),当a 时,是二次函数;
当a ,b 时,是一次函数;当a ,b ,c 时,是正比例函数. 5.正方形ABCD的边长为4,P是BC边上一点,QP⊥AP交DC于Q,如果BP=x, △ADQ的面积为y,用含x的代数式表示y.
课堂小结
1.定义:一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数. y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是:ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数. 方法:注意a≠0的条件。 课堂检测:
1.下列函数中,二次函数是( )
66A.y=6x+1 B.y=6x+1 C.y=+1 D.y=2+1
xx2
2.下列函数关系中,可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是( )
A.在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系;
B.我国人口年自然增长率为1%,这样我国人口总数随年份的变化关系;
C.竖直向上发射的信号弹,从发射到落回地面,信号弹的高度与时间的关系(不计空气阻力); D.圆的周长与圆的半径之间的关系. 3.当m 时,y=(m-2)x
m2?2是二次函数.
4.在生活中,我们知道,当导线有电流通过时,就会发热,它们满足这样一个表达式:若导线电阻为R,通过的电流强度为I,则导线在单位时间所产生的热量Q=RI2.若某段导线电阻为0.5欧姆,通过的电流为5安培,则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= . 5.已知菱形的一条对角线长为a,另一条对角线为它的3倍,用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系.
2
6.某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售,每天可销售100件.现在他采用提高售出价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品每提高1元,其销售量就要减少10件.若他将售出价定为x元,每天所赚利润为y元,请你写出y与x之间的函数表达式?
7.如图,校园要建苗圃,其形状如直角梯形,有两边借用夹角为135°的两面墙,另外两边是总长为30米的铁栅栏.(1)求梯形的面积y与高x的表达式;(2)求x的取值范围.
8.如图,用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面,请观察下列图形并解答有关问题:
(1)在第n个图中,第一横行共块瓷砖,每一竖列共有 块(均用含n的代数式表示);
(2)设铺设地面所用瓷砖的总块数为y,请写出y与(1)中的n的函数表达式(不要求写出自变量n的取值范围);
(3)按上述铺设方案,铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖,求此时n的值;
(4)若黑瓷砖每块4元,白瓷砖每块3元,在问题(3)中,共需花多少元购买瓷砖?
(5)是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形?请通过计算说明为什么?
课后反思:你在学习中都遇到了哪些困难?你是如何解决的?
§2.2 结识抛物线
学习目标:
3
有 瓷砖
1.能够利用描点法作出函数y=x的图象.能根据图象认识和理解二次函数y=x的性质. 2.猜想并能作出y=-x的图象,能比较它与y=x的图象的异同. 学习重点:
1.能够利用描点法作出函数y=x的图象,并能根据图象认识和理解二次函数y=x的性质. 2.能够作出二次函数y=-x的图象,并能比较它与y=x的图象的异同. 学习难点
经历探索二次函数y=x的图象的作法和性质的过程,获得利用图象研究函数性质的经验.并把这种经验运用于研究二次函数y=-x的图象与性质方面.实现“探索——经验——运用”的思维过程.
学习方法:探索——总结——运用法. 学习过程
温故知新,自主探究
1、画函数图象的一般步骤是 , , 2、请大家按上面的步骤作出y=x的图象.
(1)列表: x y -3 9 -2 4 -1 1 0 0 温馨提示:这里X的取值范围是 全体实数 1 2 3 1 4 9 2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
(2)在练习本的直角坐标系中描点.
(3)用光滑的,曲线连接各点,便得到函数y=x的图象. (温馨提示:连线时,最好从左往右来画) 看图说话,合作交流
1、对于二次函数y=x2的图象, (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流. (2)图象与x轴有交点吗?如果有,交点坐标是什么?
(3)当x<0时,随着x值的增大,y的值如何变化?当x>0时呢? (4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴进行交流. 2、下面我们系统地总结一下.y=x的图象的性质. (1)抛物线的开口方向是 (2)它的图象有最 点,(填高或低)最 点坐标是( ).
(3)它是 对称图形,对称轴是 .在对称轴左侧,y随x的增大而 ;在对称轴的右侧,y随x的增大而 .
(4)图象与x轴有交点,这个交点也是对称轴与抛物线的交点,称为抛物线的 ,同时也是图象的最低点,坐标为(0,0).
2
2
4
(5)因为图象有最低点,所以函数有最 值,当x=0时,y最小=0.
3、 二次函数y=-x的图象是什么形状?先想一想,然后作出它的图象.它与二次函数y=x的图象有什么关系?与同伴进行交流. 4、试着讨论y=-x的图象的性质.
(1)它的开口方向 (2)它的图象有最 点最 点坐标为( )
(3)它是 对称图形,对称轴是 ,在对称轴左侧,y随x的增大而 ,在对称轴右侧x随x的增大而 .
(4)图象与x轴有交点叫抛物线的顶点,还是图象的 ,这点的坐标为(0,0). (5)因为图象有最高点,所以函数有 ,当x=0时,y最大=0. 归纳总结,思维提升
1、函数y=x与y=-x的图象的比较.
不同点:(1)开口方向 ,y=x开口 ,y=-x开口 . (2).函数值随自变量增大的变化趋势不同。
(3).y=x有最低点,y=-x有最高点.在y=x中y有 值,即x=0时.y中y有 值.即当x=0时,y最大=0.
相同点:(1).图象都是 .(2).图象都与x轴交于点( ). (3).图象都关于 对称. 联系:它们的图象关于 对称. 2、填表格| 函 数 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 a<0 y=ax 22
2
2
最小
2
2
2
2
22
2
=0,在y=-x
2
轴(直线 ) ( ) 最值 增减性 当x>0时,y随x的增大而 当x<0时,y随x的增大而 当x>0时,y随x的增大而 当x<0时,y随x的增大而 课堂练习:
1、抛物线y=2x的顶点坐标为 ,对称轴为 当x>0时,y随x的增大而 ;当x<0时,y随x的增大而 。当x=0时.Y有最 值 ,为 。 抛物线y=2x在x轴的 方(除顶点外)。
2、抛物线y=-3x的顶点坐标为 ,对称轴为 当x>0时,y随x的增大而 ;当x<0
2
2
2
5