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2020/3/27 第四章 矩阵习题参考答案

一、 判断题

1. 对于任意n阶矩阵A，B，有A?B?A?B. 错.

2. 如果A?0,则A?0. 错.如A??2?11?2?,A?0,但A?0.

??1?1?23. 如果A?A?E，则A为可逆矩阵.

正确.A?A2?E?A(E?A)?E，因此A可逆，且A?1?A?E.

4. 设A,B都是n阶非零矩阵，且AB?0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n. 错.由AB?0可得r(A)?r(B)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n. 5．A,B,C为n阶方阵，若AB?AC, 则B?C.

错.如A???11??21??32?,B?,C??????，有AB?AC,但B?C.

??1?1???2?1???3?2?6．A为m?n矩阵，若r(A)?s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使

?IsPAQ???0?0??. 0??正确.右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形. 7．n阶矩阵A可逆，则A*也可逆.

正确.由A可逆可得|A|?0，又AA*?A*A?|A|E.因此A*也可逆，且

(A*)?1?1A. |A|1

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8．设A,B为n阶可逆矩阵，则(AB)*?B*A*. 正确.(AB)(AB)*?|AB|E?|A||B|E.又

(AB)(B*A*)?A(BB*)A*?A|B|EA*?|B|AA*?|A||B|E.

因此(AB)(AB)*?(AB)(B*A*).由A,B为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得(AB)*?B*A*. 二、 选择题

1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(B??B),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.

(A) AB?BA (B) AB?BA (C) (AB) (D) BAB

(A)(D)为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（C）当A,B可交换时为对称矩阵. 2. 设A是任意一个n阶矩阵，那么（ A）是对称矩阵.

(A) AA (B) A?A (C) A (D) A?A

3．以下结论不正确的是（ C ）.

(A) 如果A是上三角矩阵，则A也是上三角矩阵； (B) 如果A是对称矩阵，则 A也是对称矩阵； (C) 如果A是反对称矩阵，则A也是反对称矩阵； (D) 如果A是对角阵，则A也是对角阵.

4．A是m?k矩阵, B是k?t矩阵, 若B的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）

(A) AB的第j行元素全等于零； (B)AB的第j列元素全等于零； (C) BA的第j行元素全等于零； (D) BA的第j列元素全等于零； 2

22222TTT2T2020/3/27 5．设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) (A?B)?A?2AB?B (B) A?B?(A?B)(A?B) (C) (AB)?AB (D) A?E?(A?E)(A?E) 6．下列命题正确的是（B ）.

(A) 若AB?AC，则B?C

(B) 若AB?AC，且A?0，则B?C (C) 若AB?AC，且A?0，则B?C (D) 若AB?AC，且B?0,C?0，则B?C 7. A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则（ B）. (A) 当m?n时，必有行列式AB?0； (B) 当m?n时，必有行列式AB?0 (C) 当n?m时，必有行列式AB?0； (D) 当n?m时，必有行列式AB?0.

2222222222AB为m阶方阵，当m?n时，r(A)?n,r(B)?n,因此r(AB)?n?m，所以AB?0.

8．以下结论正确的是（ C ）

(A) 如果矩阵A的行列式A?0,则A?0； (B) 如果矩阵A满足A?0，则A?0；

(C) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵A,B，有(A?B)(A?B)?A?B

222A?(?1,?2,?3,?4),A*为A的伴随矩阵，9．设?1,?2,?3,?4是非零的四维列向量，

已知Ax?0的基础解系为(1,0,2,0)T，则方程组A*x?0的基础解系为（ C ）.

（A）?1,?2,?3. （B）?1??2,?2??3,?3??1.

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