内容发布更新时间 : 2024/5/12 14:08:17星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
《随机过程期末考试卷
》
率pj(n)?P?Xn?j?，n步转移概率
p(n)ij，三者之间的关系为。 8．设{X(t),t?0}是泊松过程，且
1．设随机变量X服从参数为?的
泊松分布，则X的特征函数为。 2．设随机过程
X(t)=Acos(? t+?),-? 对于任意 t2?t1?0则 P{X(5)?6|X(3)?4}?______ 9．更新方程 K?t??H?t???K?t?s?dF?s?解的 0t正常数，A和?是相互独立的随机变量，且A和?服从在区间?0,1?上的均匀分布，则X(t)的数学期望为。 3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为的同一指数分布。 一般形式为。 10．记 ??EXn,对一切a?0，当t??时，M?t+a??M?t??。 4．设?Wn,n?1?是与泊松过程得分 评卷人 二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分） ?X(t),t ?0?对应的一个等待时间序 列，则Wn服从分布。 5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，对每一个确定的t对应随机变 ?t?,量X(t)??3t??e,如果t时取得红球如果t时取得白球1.设A,B,C为三个随机事件，证明条件概率的乘法公式： P(BCA)=P(BA)P(CAB)。 2.设{X(t),t?0}是独立增量过程,且 ，X(0)=0,证明{X(t),t?0}是一个马尔科夫过程。 3.设?Xn,n?0?为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数 n步转移概率n?0,1?l (l)(n-l)p(n)，称此式为切普曼—ij??pikpkjk?I则这个随机过程的状态空间。 6．设马氏链的一步转移概率矩阵 P=(pij)，n步转移矩阵P(n)?(p(n)ij)， 二者之间的关系为。 7．设?Xn,n?0?为马氏链，状态空间I，初始概率pi?P(X0=i)，绝对概 科尔莫哥洛夫方程，证明并说明其意义。 4.设?N(t),t?0?是强度为?的泊松 过程， ?Yk,k=1,2, L?是一列独立同分布随机变量，且与?N(t),t?0?独N(t)立，令X(t)=?Yk,t?0，证明：若 k=1E(Y21 4道小题，每题8分，共32分） 1.设齐次马氏链的一步转移概率矩 ??1/32/30?阵为P??1/302/3???，求其?01/32/3??平稳分布。 2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。 3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为?，而今天无雨明天有雨的概率为 ?；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设??0.7,??0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。 4.设有四个状态I=?0，1，2，3?的马氏链，它的一步转移概率矩阵 ?1?21200??P=??121200??? ?14141414????0001??（１）画出状态转移图； （２）对状态进行分类； （３）对状态空间I进行分解。 6分） 简述指数分布的无记忆性与马尔科 夫链的无后效性的关系。 一．填空题 1．为e?(eit-1)。 2．12(sin(?t+1)-sin?t)。3．1? 4．?5．??1t,2t,L;e,e2??33L??。 6．P(n)?Pn。7．p(n)j(n)??pi?pij。 i?I8．18e?69。 K?t??H?t???t0K?t?s?dM?s?10. a? 二．证明题 1. 证明：左边= P(ABC)P(A)?P(ABC)P(AB)P(AB)P(A)?P(CAB)P(BA)=右边 2. 证明：当0?t1?t2?L?tn?t时， P(X(t)?xX(t1)=x1,X(t2)=x2,LX(tn)=xn)= P(X(t)-X(tn)?x-xnX(t1)-X(0)=x1,X(t2)-X(0)=x2,LX= P(X(t)-X(tn)?x-xn)，又因为 P(X(t)?xX(tn)=xn)=题（本大题共题（本题P(X(t)-X(tn)?x-xnX(tn)=xn)= P(X(t)-X(tn)?x-xn)，故 P(X(t)?xX(t1)=x1,X(t2)=x2,LX(tn)=xn)=P(X(t)?xX(tn)=xn) 3. 证明： 11???1?3?1?3?2?21??2??1??3?33即 ?22??3??2??333???1??2??3?1124??,?2?,?3?，解得??1(n)777Pij?P?X(n)=jX(0)=i??P?X(n)=j,UX(l)=kX(0)=i???k?I124=?P?X(n)=j,X(l)=kX(0)=i? 故平稳分布为??(,,) 777k?I= ?P?X(l)=kX(0)=i?gP?X(n)=jX(l)=k,X(0)=i?k?I2.解：设?N(t),t?0?是顾客到达数的泊松 (l)(n-l)=?Pik其意义为n步转移概率Pkj， (4)k-4e，过程，故P?N(2)=k????2， k!则 可以用较低步数的转移概率来表示。 4. 证明：由条件期望的性质 P?N(2)?3??P?N(2)=0?+P?N(2)=1?+P?N(2)=2?+P?3.解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=?E?X(t)??EE??X(t)N(t)??，而 ???N(t)?E?X(t)N(t)?n?EYN(t)?n???i? ???i=1??n??n?=E??YiN(t)?n?=E??Yi?=?i=1??i=1?nE(Y1)，所以E?X(t)???tE?Y1?。 ?p00?p10p01??0.70.3???，于是?p11???0.40.6?P(2)?0.610.39??PP=??，四步转移概0.520.48??率矩阵为 ?0.57490.4251?，从P(4)?P(2)P(2)????0.56680.4332?而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率 (4)为P00?0.5749。 三．计算题（每题10分，共50分） 1.解： 解方程组???P和??i?1， 4. 解：（1）图略； （2）p33?1,而p30，p31，p32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记C1=?3?；0，1两个状态互通，