内容发布更新时间 : 2024/12/28 10:46:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
振 动 和 波 习 题 课
壹 内容提要
一. 振动
1.简谐振动的定义： 恢复力 F=-kx
微分方程 d2x/dt2+?2x=0 运动方程 x=Acos(?t+?0)
弹簧振子?=(k/m)1/2， 单摆?=(g/l)1/2， 复摆?=(mgh/J)1/2；
2.描述谐振动的物理量：
(1)固有量：固有频率?，周期T，频率ν 其关系为 ?=2?/T=2?ν ν=1/T (2)非固有量，
振幅A A=(x02+v02/?2)1/2 位相? ?=?t+?0
初位相?0 tan?0=?v0/(? x0) (再结合另一三角函数定出?0)； 3.旋转矢量法(略)； 4.谐振动能量：
Ek=Esin2(?t+?0) Ep=Ecos2(?t+?0) E=Ek+ Ep
5.谐振动的合成：
(1)同方向同频率两谐振动的合成
A=[A12+A22+2A1A2cos(?20??10)]1/2
tg?0=(A1sin?10+A2sin?20)/(A1cos?10+A2cos?20) (再结合另一三角函数定出?0)
拍 ??<
?1与?2成简单整数比时成李萨如图形 ?1=?2时为椭圆方程：
x2/A12+y2/A22? 2(x/A1)(y/A2)cos(?20??10)
=sin2(?20??10)
二. 波动
1.机械波的产生必须有波源及媒质，机械波的传播实质是相位(或振动状态)的传播；
2.描述波的物理量：波长?，频率ν，周期T，波速u
其关系为 T=1/ν=?/u u=?/T=?ν 3.平面简谐波的波动方程
y=Acos(?t?x/u+?0) =Acos[2?(t/T?x/?)+?0] =Acos[(2?/?)(x?ut)??0]；
4.平均能量密度 w=?A2?2/2，
能流密度(波的强度) I=wu=?A2?2u/2 5.惠更斯原理(略)；
6.波的叠加原理：独立性，叠加性； 7.波的干涉
(1)相干条件：频率相同，振动方向相同，位相差恒定。
(2)相干加强与减弱的条件：
加强 ??=2k? 减弱 ??=(2k+1)? 其中??=?20??10?2?(r2?r1)/?
(3)驻波：波幅处振幅最大，波节处振幅最小，相邻波节(或波幅)之间的距离为?/2； 8.半波损失：波从波疏媒质(?u较小)向波密媒质(?u较大)传播，在界面上反射时，反射波中产生半波损失，其实质是位相突变?； 9.多普勒效应：只考虑波源和观察者在同一直线上运动时的频率变化公式
波源运动等效波长改变 νR=νSu /(u-vS) 观察者运动相当于波速变化νR=νS(u+vR)/u (相互接近vR vS取正)
1
贰 练习十六至练习二十一答案及简短解答
练习十六 谐振动
一.选择题 C A D B B 二.填空题
1. 4?/3,4.5cm/s2,x=2cos(3t/2－?/2).
1. 0.2rad/s,?0.02sin(0.2t+0.5) (SI),0.02 rad/s.3. B C, B, +?/4. 三.计算题
1.(1) v=dx/dt= －3.0sin(5t－?/2) (SI) 所以 v0=3.0m/s
(2) F=ma=－m?2Acos(5t－?/2)
=－m?2x
当x=A/2时 F= －1.5N
2．弹簧振子的圆频率 ?=[k/(M+m)]1/2 子弹射入木块时动量守恒，有
?mv0=(M+m)v v= ?mv0/(M+m)
即 [dx/dt]x=0=?A? sin?0= ?mv0/(M+m) 知 sin?0＞0 即?0在一、二象限. 因t=0时
x0=A cos?0=0
得 ?0=±?/2
所以 A=[mv0/(M+m)]/?=mv0/[k(M+m)]1/2
?0=?/2
故系统的振动方程
x={mv0/[k(M+m)]1/2}cos{[k/(M+m)]1/2t+?/2}
练习十七 谐振动能量 谐振动合成
一.选择题 B E C D C
二.填空题
1. x2 = 0.02cos ( 4 ? t－2?/3 ) (SI). 2. 2?2mA2/T2. 3. 5.5Hz，1. 三.计算题
1.(1)平衡时,重力矩与弹力矩等值反向,设此时弹簧伸长为?x0,有
mgl/2－k?x0l?= mgl/2－k?x0l/3=0 设某时刻杆转过角度为?, 因角度小,弹簧再伸长近似为? l?=? l/3,杆受弹力矩为
Mk=－l?Fk=－ (l/3)[(?x0+? l/3)k] =－k (?x0l/3+? l2/3)
合力矩为 MG+ Mk
= mgl/2－k (?x0l/3+? l2/3)=－k ? l2/3 依转动定律,有
－k ? l2/3=J?= (ml2/3)d2? /dt2 d2? /dt2+ (k/m)?=0
即杆作简谐振动.
(2) ?=km T=2?mk (3) t=0时, ?=?0, d? /dt ?t=0=0,得振幅?A=?0, 初位相?0=0,故杆的振动表达式为
?=?0cos(kmt)
2.因A=4×10－2m, A－
12=3×102m ?20=?/4, ?10=?/2,有
A=[A－
12+A22+2A1A2cos(?20-?10)]1/2=6.48?102m tg?0=(A1sin?10+A2sin?20) /(A1cos?10+A2cos?20)
=2.061
?0=64.11○ ?0=244.11○
因 x0=Acos?0=x10+x20
=AA－
1cos?10+2cos?20=5.83?102m>0 ?0在I、IV象限,故
?0=64.11○=1.12rad
2
所以合振动方程为
x=6.48?10-2cos(2?t+1.12) (SI)。
练习十九 波的能量 波的干涉
一.选择题 B A D B C
练习十八 阻尼 受迫 共振 波动方程
二.填空题
一.选择题 C C B A D 二.填空题
1. 3，300 2. 0, 3?cm/s.
3. 振动系统的固有频率,策动力的频率. 三.计算题
1．(1)若取x轴方向向左，A为坐标原点，则波动方程为
y=3cos[4?(t+x/c)??]
=3cos(4?t+?x/5??) (SI)
D(x=?9m)点的振动方程为
y0=3cos[4?t+?(?9)/5??] =3cos(4?t?14?/5) (SI)
(2)若取x轴方向向右，A点左方5m处的O点为x轴原点，有A点坐标为x0=5m，D点坐标为x=14m . 则波动方程为
y=3cos{4?[t?(x?5)/c]??} =3cos(4?t??x/5) (SI)
D点的振动方程
yD=3cos(4?t?? ?14/5)
=3cos(4?t?14?/5) (SI)
2.(1) y=Acos2?(t/T－x/?)
=0.1cos2?(2t－x/10) (SI)
(2) y1=0.1cos2?[(T/4)/T－(?/4)/?]=0.1m (3) u=?y/?t=－0.4?sin2?(2t－x/10)
=－0.4?sin2?[(T/2)/T－(?/4)/?] =－0.4?=－1.26m/s
3
1. ??Sw/2?. 2. 5J. 3. 0. 三.计算题
1.(1) P=W/t=2.70?103J/s
－
(2) I=P/S=9?102J/(sm2)
－
(3) w=I/u=2.65?10-4J/m2.
2. Ap={(A/r1)2+(A/r2)2+
+2(A/r1)(A/r2)cos[?/2??+2?(r2?r1)/?]}1/2 =2A/(5?)
tan?0
=[(A/r1)sin(?2?r1/?+?/2)+(A/r2)sin(?2?r2/?+?)]÷[(A/r1)cos(?2?r1/?+?/2)+(A/r2)cos(?2?r2/?+?)]
= ?1 y0=Acos?0
=A/r1cos(?2?r1/?+?/2)+(A/r2)cos(?2?r2/?+?)
=?A/(5?)<0
所以 ?0=3?/4
故 y=[2A/(5?)]cos(2?νt +3?/4).
练习二十驻波 多普勒效应
一.选择题 A B A C D 二.填空题