专题——中点的妙用(初三数学) 下载本文

内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:50:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

方法专题:中点的妙用

联想是一种非常重要的数学品质。善于联想,才能更好的寻求解决问题的方法。同学们当你遇到中点时,你会产生哪些联想呢?学习完这个专题后,能给你带来一定的启示。

看到中点该想到什么?

1、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”的性质;

2、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半”; 3、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理”;

4、两条线段相等,为全等提供条件(遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型”全等三角形);

5、有中点时常构造垂直平分线;

6、有中点时,常会出现面积的一半(中线平分三角形的面积); 7、倍长中线

8、圆中遇到弦的中点,常联想“垂径定理” 中点辅助线模型

一、等腰三角形中遇到底边上的中点,常联想“三线合一”的性质

1、如图1所示,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC中点,MN⊥AC于点N,则MN等于( )

A.

二、直角三角形中遇到斜边上的中点,常联想“斜边上的中线,等于斜边的一半”

2、如图,在Rt⊿ABC中,∠A=90°,AC=AB,M、N分别在AC、AB上。且AN=BM.O为斜边BC的中点.试判断△OMN的形状,并说明理由.

691216 B. C. D.5555

A M N B O C 3、如图,正方形ABCD的边长为2, 将长为2的线段QF的两端放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发,沿图中所示方向按A?B?C?D?A滑动到点A为止,同时点F从点B出发,沿图中所示方向按B?C?D?A?B滑动到点B为止,那么在这个过程中,线段QF的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( ) A. 2 B. 4-? C.? D.??1

AQMBD 1

CF 第8题图

三、三角形中遇到两边的中点,常联想“三角形的中位线定理” 4、(直接找线段的中点,应用中位线定理) 如图,已知四边形ABCD的对角线AC与BD相交于点O,且AC=BD,M、N分别是AB、CD的中点,MN分别交BD、AC于点E、F.你能说出OE与OF的大小关系并加以证明吗?

5、(利用等腰三角形的三线合一找中点,应用中位线定理)

如图所示,在三角形ABC中,AD是三角形ABC∠BAC的角平分线,BD⊥AD,点D是垂足,点E是边BC的中点,如果AB=6,AC=14,求DE的长

DAEFNMB图2-1C

6、(利用平行四边形对角线的交点找中点,应用中位线定理)

如图所示,AB∥CD,BC∥AD ,DE⊥BE ,DF=EF,甲从B出发,沿着BA、AD、DF的方向运动,乙B出发,沿着BC、CE、EF的方向运动,如果两人的速度是相同的,且同时从B出发,则谁先到达F点?

7、(综合使用斜边中线及中位线性质,证明相等关系问题)

如图,等腰梯形ABCD中,CD∥AB,对角线AC、BD相交于点O,

DSC?ACD?60?,点S、P、Q分别是DO、AO、BC的中点.

O求证:△SPQ是等边三角形。

P

A 图 6-1

AD四、两条线段相等,为全等提供条件(遇到两平行线所截得的线段的中点时,常联想“八字型”全等三角形)

8、如图:梯形ABCD中,∠A=90°,AD//BC,AD=1,BC=2,CD=3,

EE为AB中点,求证:DE⊥EC

B

QBC 2

9、如图甲,在正方形ABCD和正方形CGEF(CG>BC)中,点B、C、G在同一直线上,M是AE的中点,(1)探究线段MD、MF的位置及数量关系,并证明;

(2)将图甲中的正方形CGEF绕点C顺时针旋转,使正方形CGEF的对角线CE恰好与正方形ABCD的边BC在同一条直线上,原问题中的其他条件不变。(1)中得到的两个结论是否发生变化?写出你的猜想并加以证明 F F E D A M A M D B E C

B C G

G A 图甲 图乙

五、有中点时常构造垂直平分线

110、如图所示,在△ABC中,AD是BC边上中线,∠C=2∠B.AC=2BC。

求证:△ADC为等边三角形。

六、有中点时,常会出现面积的一半(中线平分三角形的面积) 11、(1)探索:已知?ABC的面积为a,

①如图1,延长?ABC的边BC到点D,使CD=BC,连接DA,若

B D C ?ACD的面积为S1,则S1= (用含a的代数式表示)

②如图2,延长?ABC的边BC到点D,延长边CA到点E,使CD=BC,AE=CA,连接DE,若?DEC的面积为S2,则S2= (用含a的代数式表示)

③在图2的基础上延长AB到点F,使BF=AB,连接FD,FE,得到?DEF(如图3),若阴影部分的面积为S3,S3= (用含a的代数式表示)

⑵发现:像上面那样,将?ABC各边均顺次延长一倍,连接所得端点,得到?DEF(如图4),此时,我们称?ABC向外扩展了一次。可以发现,扩展一次后得到的?DEF的面积是原来?ABC面积的 倍 ⑶应用:如图5,若△ABC面积为1,第一次操作:分别延长AB,BC,CA至点A1,B1,C1,使得A1B=AB,B1C= BC,C1A=CA,顺次连结A1,B1,C1,得到△A1B1C1. 第二次操作:分别延长A1B1,B1C1,C1A1至点A2,B2,C2,使A2B1= A1B1,B2C1= B1C1,C2A1= C1A1,顺次连结A2,B2,C2,得到△A2B2C2,第三次操作… ,按此规律,要使得到的三角形的面积超过2010,最少要经过 次操作. ...

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