内容发布更新时间 : 2024/11/17 10:23:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
4.2 求1到1000之间的非完全平方，非完全立方，更不是非完全四次方的数有多少个？ 解：设S是1000个数的集合， 性质P1是某数的完全平方， 性质P2是某数的完全立方， 性质Pi3是某数的完全四次方。A?{x|x?S?x具有性质P},(i?1,2,3) i??31，|A2|??31000??10，|A3|??41000??5 |A1|??1000??????6??3，|A1?A3|??41000??5，|A2?A3|??121000??1， |A1?A2|??1000??????12??1 |A1?A2?A3|??1000???|A1?A2?A3|?1000?(31?10?5)?(3?5?1)?1?962
4.4某杂志对100名大学新生的爱好进行调查，结果发现他们都喜欢看球赛和电影、戏剧。其中58人喜欢看球赛，38人喜欢看戏剧，52人喜欢看电影，既喜欢看球赛又喜欢看戏剧的有18人，既喜欢看电影又喜欢看戏剧的有16人，三种都喜欢看的有12人，求有多少人只喜欢看电影？
解：由题意可得，P1,P2,P3分别表示喜欢看球赛、电影和戏剧的学生，相应的学生集合分别
为A1,A2,A3，依题意，这100名大学生中每人至少有三种兴趣中的一种，则A1?A2?A3?0 所以可得既喜欢看球赛有喜欢看电影的人有
|A1?A2|?(58?38?52)?100?(18?16)?12?26
因此只喜欢看电影的人有A2?A1?A2?A2?A3?A1?A2?A3
=52-(26+16)+12=22人 4.5 某人有六位朋友，他跟这些朋友每一个都一起吃过晚餐12次，跟他们中任二位一起吃过
6次晚餐，和任意三位一起吃过4次晚餐，和任意四位一起吃过3次晚餐，任意五位一起吃过2次晚餐，跟六位朋友全部一起吃过一次晚餐，另外，他自己在外吃过8次晚餐而没
碰见任何一位朋友，问他共在外面吃过几次晚餐?
123456C6?12?C6?6?C6?4?C6?3?C6?2?C6?1?8?36
4.6 计算多重集S={4?a, 3?b, 4?c,6?d }的12-组合的个数？ 解：令T?{??a,??b,??c,??d}的所有12组合构成W??4?12?1??455
?12???其中|A|??4?7?1??120，|A|??4?8?1??165，
1?7?2?8??????4?7?1?，|A|??4?5?1??56， |A3|???1204?5??7?????4?0?1?，?4?2?1??4?3?1?，，|A1?A2|????20|A1?A3|??2??10|A1?A4|??0??13???????4?1?1??4?3?1?，， |A?A|??4?0?1??1， |A?A|??4|A2?A3|???2024?1?34??????3??0?|A1?A2?A3|?0
?|A1?A2?A3?A4|?455?(120?120?165?56)?(20?10?1?20?4)?50
4.7 计算多重集S={∞?a, 4?b, 5?c,6?d }的10-组合的个数？ 解：将??a，其他思想同上题。
?4?10?1?W???286 ??10??4?5?1??4?4?1??4?3?1?其中|A|A2|???56，|A3|???35，|A4|???20，???1|?0，
?5??4??3?|A1?A2|?0，|A1?A3|?0，|A1?A4|?0，|A2?A3|?0，|A2?A4|?0，|A3?A4|?0，|A1?A2?A3|?0
?|A1?A2?A3?A4|?286?(56?35?20)?175
4.8 用容斥原理确定如下两个方程的整数解的个数。
1）x1+x2+x3=15，其中x1,x2, x3都是非负整数其都不大于7； 2）x1+x2+x3+x4=20，其中x1,x2, x3, x4都是正整数其都不大于9； 解： 1）x1?x2为28 2）
?x3?15?0?x1?7,0?x2?7,0?x3?7?与{7a,7b,7c}的15组合数相等，
x1?x2?x3?x4?20?1?x1?9,1?x2?9,1?x3?9,1?x4?9?，因此用y1+1代替x1，y2+1代替x2，y3+1代替x3，y4+1代替x4有
y1?y2?y3?y4?16的16组合数相等为489
?0?y1?8,0?y2?8,0?y3?8,0?y4?8?与{8a,8b,8c,8d}
n??n??n??n? 4.9 定义D0=1，证明：n!??D?D?D????n??1??2??D0012???????n??n?证明：考虑到n个数的全排列包含错位排列和非错排，其中??Dk表示在n个数中任选k个，
?k?这个k个数构成了一个错排，而剩余的n-k个数还在原来的位置。
?n??n??n??n??n??n??0???n?，显然n!??0?D0??1?D1??2?D2?...??n?Dn ????????????（另一种方法：组合分析法）
4.10证明：Dn满足：
?Dn?(n?1)(Dn?1?Dn?2) ??D1?0,D2?1 ｎ为整数且ｎ?３
证明：由定理4.3.1得
111n?1Dn?1?(n?1)!(1??...?(?1))
1!2!(n?1)!111n?2?(n?1)!(1??...?(?1))?(?1)n?1
1!2!(n?2)!Dn?2?(n?2)!(1??Dn?1?Dn?2111?...?(?1)n?2) 1!2!(n?2)!111n?2?(1??...?(?1))[(n?2)!?n]?(?1)n?11!2!(n?2)!111?...?(?1)n?2)?(?1)n?1(n?1) 1!2!(n?2)!?(n?1)(Dn?1?Dn?2)?n!(1?1111n?2n?1n1?(1??...?(?1)?(?1)?(?1))
1!2!(n?2)!(n?1)!n!4.11有10名女士参加一个宴会，每人都寄存了一顶帽子和一把雨伞，而且帽子、雨伞都是互不相同的，当宴会结束的离开的时候，如果帽子和雨伞都是随机的还回的，那么有多少种方法使得每位女士拿到的物品都不是自己的？
解：由于帽子全部拿错和雨伞全部拿错是两个相互独立的事件，设帽子全错为
1111111111D?10!(1??????????)
1!2!3!4!5!6!7!8!9!10!110雨伞全错为D1021解 ?D1012?D10?D10?D10?10!?10! 2e
4.13计算棋盘多项式R( )。
解： R( ) = x*R()+R( ) =x*(1+3x+x2)+(1+x)*R(= x3+3x2+x+(1+x)[xR(
) )+R(
)]
= x3+3x2+x+(1+x)[x(1+x)+(1+4x+2x2)] = 5x3+12x2+7x+1
4.14有A,B,C,D,E五种型号的轿车，用红、白、蓝、绿、黑五种颜色进行涂装。要求A型车不能涂成黑色；B型车不能涂成红色和白色；C型车不能涂成白色和绿色；D型车不能涂绿色和蓝色；E型号车不能涂成蓝色，求有多少种涂装方案？ 解：A B C D E
红 白 蓝 绿 黑
1.若未规定不同车型必须涂不同颜色，则：
涂装方案4?3?3?3?4?432 2.若不同车型必须涂不同颜色，则：
禁区的棋盘多项式为： 1+8x+22x2+25x3+11x4+x5
所以：
5！-8*4！+22*3！-25*2！+11*1！-1=20 4.15计算?(210),?(105). （舍）
4.16计算T={∞?1, ∞?2, ∞?3，∞?4}的长度为4的圆排列数。 （舍）
补：（1）在1~2000中能被7整除，但不能被6和10整除的个数。 证明：A1,A2,A3表示被6、7和10整除的数的子集，所求：
A1?A2?A3?A2?A1?A3?A2?A2?(A1?A3)?A2?(A2?A1)?(A2?A3)?A2?(A2?A1?A2?A3?(A2?A1)?(A2?A3))
=219
(2)在1~2000中至少被2、3和5两个数整除的数的个数？
A2?A1?A2?A3?A1?A3?2A1?A2?A3=534
习题五
5.1 求如下数列的生成函数。
（1）ak?(?1)k(k?1)；（2）ak?(?1)kk2k； （3）ak?k?6； （4）ak?k(k?2)；
?n?k??n???（5）ak??； （6）a?k?k??3??； ????解：（1）由已知得
bk?k?11
B(x)?(1?x)2故A(x)?1
(x?1)2（2）设bk?(?2)k则G{bk}?1 1?2x?2x
(1?2x)2又因为ak?kbk故G{ak}?x(G{bk})1?bk?k或者
B(x)?x (1?x)2x66?5x??
(1?x)21?x(1?x)2（3）G{ak}?G{bk?k}?G{ck?6}?