内容发布更新时间 : 2024/5/6 18:08:58星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

?f(n)?5f(n?1)?6f(n?2)?4f(n?3)?8f(n?4),(n?4)（3）?

?f(0)?0,f(1)?1,f(2)?1,f(3)?2,;解：

次特征方程： x4-5x3?6 x2?4x-8?0特征根： x1?x2?x3?2,x4?-1次通解： f#(n)?c12n?c2n2n?c3n22n?c4(?1)n 代入推系得：8718，c2?，c3?-，c4?-273624278n7n12n8? f(n)?2?n2-n2-(?1)n27362427c1?

?f(n)?3f(n?1)?2f(n?2)?1,(n?2)（4）?

?f(0)?4,f(1)?6;解：

齐次特征方程： x2?3x?2?0特征根： x1?2,x2?1非齐次特解： f*(n)?b0n代入递推关系得：b0??1f#(n)?c12n?c2?nc1?3，c2?1? f(n)?3?2n?1?n

6.3 求解递推关系：

?f(n)?4f(n?1)?4f(n?2)?3n?1,(n?2)（1）?

f(0)?1,f(1)?2;?齐次特征方程： x2?4x?4?0特征根： x1?x2?2,非齐次特解： f*(n)?b0?b1n解：代入递推关系得：

b0?13,b1?3f#(n)?c12n?c2n2n?3n?13c1??12，c2?10? f(n)??12?2n?10?n2n?3n?13

?f(n)?6f(n?1)?9f(n?2)?2n,(n?2)（2）?

?f(0)?1,f(1)?0;解：

齐次特征方程： x2?6x?9?0特征根： x1?x2?3,非齐次特解： f*(n)?b0?b1n代入递推关系得：b0?12,b1?4f#(n)?c13n?c2n3n?4n?1217c1??11，c2?3? f(n)??11?3n?17?n3n?1?4n?12

?f(n)?4f(n?1)?3?2n,(n?1)（3）?

f(0)?1,?齐次特征方程： x?4?0特征根： x?4,非齐次特解： f*(n)???2n代入递推关系得：解：

???3f#(n)?c14n?3?2nc1?4，? f(n)?4n?1?3?2n

?f(n)?2f(n?1)?n,(n?1)（4）?

?f(0)?1,

解：

齐次特征方程： x-2?0特征根： x?2,非齐次特解： f*(n)?b0?b1n代入递推关系得：b0?-2,b1?-1f#(n)?c12n-n-2c1?3，? f(n)?3?2n-n-2

6.4 求解递推关系：

?nf(n)?(n?1)f(n?1)?2n,(n?1),（1）?

f(0)?273;?2?f?(n)?2f(n?1)?0（2）???f(0)?4;22??f(n)?2f(n?1)?1（3）???f(0)?2;2?f(n)?5f(n?1)?（4）???f(0)?0;(n?1),

f(n),(n?1),

(n?1),

6.5 平面上有n条直线，它们两两相交且沿有三线交于一点，设这n条直线把平面分成

f(n)个区域，求f(n)的递推关系并求解.

解：设n-1条直线把平面分成f(n-1)个区域，则第n条直线与前n-1条直线都有一个交点，即在第n条直线上有n-1个交点，并将其分成n段，这n段又把其所在的区域一分为二。

?f(n)?f(n?1)?n,(n?2)? ??f(1)?2齐次特征方程： x?1?0特征根： x?1非齐次特解： f*(n)?(b0?b1n)n代入递推关系得：1b0?b1?，2(1?n)nf#(n)?c1?2代入递推关系得：c1?1? f(n)?1?(1?n)n2

6.6 一个1?n的方格图形用红、蓝两色涂色每个方格，如果每个方格只能涂一种颜色，且不允许两个红格相邻，设f(n)有种涂色方案，求f(n)的递推关系并求解.

解：

?f(n)?f(n?1)?f(n?2),? ??f(1)?2，f(2)?3(n?2) f(n-2) f(n-1)

6.7 核反应堆中有?和?两种粒子，每秒钟内1个?粒子可反应产生出3个?粒子，而1个?粒子又可反应产生出1个?粒子和2个?粒子.若在t=0s时刻反应堆中只有1个?粒子，求t=100s时刻反应堆里将有多少个?粒子和?粒子，共有多少个?粒子.

解：

设t时刻反应堆中?粒子数为f(t)，?粒子数为g(t)

在t-1时刻 在t时刻 ? ? g(t-1) 3f(t?1)?2g(t-1) f(t-1) g(t-1) ?f(t)?g(t?1),(n?2)??g(t)?3f(t?1)?2g(t?1)?f(0)?1,g(0)?0??g(t)?3g(t?2)?2g(t?1),(n?2)??g(0)?0,g(1)?3齐次特征方程： x2?2x?3?0特征根： x1?3,x2??1齐次通解： g#(t)?c1?3t?c2?(?1)t代入递推关系得：33c1?，c2??4433? g(t)??3t??(?1)t443t?133t3t?1? f(t)??3??(?1)???(?1)t

4444补：上有n个大圆，任意两个大圆皆相交，且没有三个大圆通过同一点，则这些大圆所形成

的区域数f(n)满足的递推关系是

f(n+1)= f(n)+2n，n>1,f(1)=2，f(n)可以由f(n)来生成，当在f(n)个大圆的基础上，在球面上再加上第n+1个大圆时，它同前n个大圆共得到2n个交点(因无三个大圆相交于一点)，而每增加一个交点就增加一个新的面，故共增加2n个面。所以有f(n+1)= f(n)+2n。 设P是平面上n个连通区域D1,D2,…Dn的公共交界点，如下图所示。现用k种颜色对其着色，要求有公共边界的相邻区域着以不同的颜色，令f(n)表示不同的着色方案。 求它所满足的递推关系。

有： f(n)= (k-1)f(n-2)+(k-2)f(n-1)（n≥4）f(2)=k(k-1) f(3)=k(k-1)(k-2)

(1) 有D1与Dn-1同色，此时Dn有k-1种方案，可将D1与D n-2看成相邻区域，则D1,D2, …, Dn-2的着色方案为f(n-2)。

(2) D1与Dn-1异色，此时Dn有k-2种方案，可将，则D1,D2, …, Dn-1的着色方案为f(n-1)。

(k-1)f(n-2)+(k-2)f(n-1) n-1

另有：f(n)=k(k-1)-f(n-1)

第七章

例n种颜色涂色装有7颗珠子的手镯，如果只考虑手镯的旋转，求有多少种涂色方案？ 解 对象集D＝{1,2,3,4,5,6,7}，颜色集是R＝(1,2,3,…,n)，D上的置换群G＝

{g0,g1,g2,…,g6}，其中gi表示旋转360°*i/7，因7是质数，所以除λ(g0)＝7外，其它λ(gi)＝1，(i=1,2,3,4,5,6)，代入Polya公式，得 L＝1/7*[n7+6n]

而四边形：转180时 P22 6,8,9