内容发布更新时间 : 2024/11/17 17:38:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
概率论(曹显兵)
第一讲 随机事件与概率
考试要求
1. 了解样本空间的概念, 理解随机事件的概念, 掌握事件的关系与运算.
2. 理解概率、条件概率的概念, 掌握概率的基本性质, 会计算古典型概率和几何型概率, 掌握概率的加法公式、减法公式、乘法公式、全概率公式, 以及贝叶斯公式.
3. 理解事件独立性的概念, 掌握用事件独立性进行概率计算；理解独立重复试验的概率, 掌握计算有关事件概率的方法. 一、古典概型与几何概型
1．试验，样本空间与事件.
2．古典概型：设样本空间?为一个有限集，且每个样本点的出现具有等可能性，则 P(A)?A中有利事件数
基本事件总数A的度量（长度、面积、体积）Ω的度量（长度、面积、体积）
3．几何概型：设?为欧氏空间中的一个有界区域, 样本点的出现具有等可能性，则
P(A)?【例1】 一个盒中有4个黄球, 5个白球, 现按下列三种方式从中任取3个球, 试求取出的球中有2个黄球, 1 个白球的概率. （1） 一次取3个；
（2） 一次取1 个, 取后不放回； （3） 一次取1个, 取后放回.
【例2 】从 （0，1） 中随机地取两个数，试求下列概率： （1） 两数之和小于1.2； （2） 两数之和小于1且其积小于
3. 16一、 事件的关系与概率的性质
1. 事件之间的关系与运算律（与集合对应）, 其中特别重要的关系有： （1） A与B互斥（互不相容） ? AB?? （2） A与B 互逆（对立事件） ? AB??,
A?B??
（3） A与B相互独立? P（AB）=P（A）P（B）.
? P（B|A）=P（B） （P（A）>0）. ?P(B|A)?P(B|A)?1 （0 ?P（B|A） =P（B|A） （ 0 < P（A） < 1 ） 注: 若（0 ? P(A|B)?P(A|B)?1（0 （4） A, B, C两两独立 ? P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）. （5） A, B, C相互独立 ? P（AB）=P（A）P（B）; P（BC）=P（B）P（C）; P（AC）=P（A）P（C）; 1 / 16 概率论(曹显兵) P（ABC）=P（A）P（B）P（C）. 2. 重要公式 （1） P(A)（2） ?1?P(A) P(A?B)?P(A)?P(AB) （3） P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB) P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(BC)?P(AC)?P(ABC) （4） 若A1, A2,…,An两两互斥, 则P(?Ai?1ni)??P(Ai). i?1n（5） 若A1,A2, …, An相互独立, 则 P(?A)?1??P(A)?1??[1?P(A)]. iinnnii?1i?1i?1P(?Ai)??P(Ai). i?1i?1nn（6） 条件概率公式: P(B|A)?P(AB) （P（A）>0） P(A)【例3】 已知（A＋B）（A?B）＋A?B?A?B＝C, 且P（ C ）＝ 1, 试求P（B ）. 319,且已知P(ABC)?, 则 162【例4】 设两两相互独立的三事件A, B, C满足条件: ABC＝Φ, P（A）＝P（B）＝P（C）< P（A）＝ . 【例5】 设三个事件A、B、C满足P（AB）＝P（ABC）, 且0 （A）P（A（C）P（A B|C）＝P（A|C）+ P（B|C）. （B）P（AB|C）＝P（A|C）+ P（B|C）. （D）P（A B|C）＝P（A B）. B）. B|C）＝P（A 【例6】 设事件A, B, C满足条件: P（AB）＝P（AC）＝P（BC）?率为 . 【例7】 设事件A, B满足 P（B| A）＝1则 11, P（ABC）＝, 则事件A, B, C中至多一个发生的概816【 】 A）=0. （C） A?B. （D） A?B. （A） A 为必然事件. （B） P（B| 【例8】 设A, B, C为三个相互独立的事件, 且0 A?B与C . （B） AC与C （C ） A?B与C （D） AB与C 【例9】 设A，B为任意两个事件，试证 P（A）P（B）－P（AB） ≤ P（A－B） P（B－A） ≤ 三、乘法公式，全概率公式，Bayes公式与二项概率公式 1． 乘法公式： 1. 4P(A1A2)?P(A1)P(A2|A1)?P(A2)P(A1|A2).P(A1A2?An)?P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)?P(An|A1A2?An?1).2． 全概率公式： 2 / 16 概率论(曹显兵) P(B)??P(B|Ai)P(Ai), AiAj??,i?j, Ai??. i?1i?1??3．Bayes公式： P(Aj|B)?P(B|Aj)P(Aj)??P(B|A)P(A)iii?1?, AiAj??,i?j, Ai??. i?14．二项概率公式: kkPn(k)?CnP(1?P)n?k, k?0,1,2,,n., 【例10】 10件产品中有4件次品, 6件正品, 现从中任取2件, 若已知其中有一件为次品, 试求另一件也为次品的概率. 【例11】设10件产品中有3件次品, 7件正品, 现每次从中任取一件, 取后不放回. 试求下列事件的概率. （1） 第三次取得次品; （2） 第三次才取得次品; （3） 已知前两次没有取得次品, 第三次取得次品; （4） 不超过三次取到次品; 【例12】 甲, 乙两人对同一目标进行射击,命中率分别为0.6和0.5, 试在下列两种情形下, 分别求事件“已知目标被命中,它是甲射 中”的概率. （1）在甲, 乙两人中随机地挑选一人, 由他射击一次; （ 2）甲, 乙两人独立地各射击一次. 【例13】设有来自三个地区的各10名、15名和25名考生的报名表,其中女生的报名表分别为3份,7份和5份. 随机地取一个地区的 报名表,从中先后任意抽出两份. (1) (2) 求先抽到的一份是女生表的概率p; 已知后抽到的一份是男生表,求先抽到的一份是女生表的概率q . 第二讲 随机变量及其分布 考试要求 1. 理解随机变量及其概率分布的概念.理解分布函数（F(x)?概率. 2. 理解离散型随机变量及其概率分布的概念，掌握0－1分布、二项分布、几何分布、超几何分布、泊松（Poisson）分布及其应用. 3. 了解泊松定理的结论和应用条件，会用泊松分布近似表示二项分布. 4. 理解连续型随机变量及其概率密度的概念，掌握均匀分布、正态分布N(?,?的指数分布的概率密度为 2P(X?x)） 的概念及性质.会计算与随机变量有关的事件的 )、指数分布及其应用，其中参数为?(??0)??e??x,x?0,f(x)?? 0,x?0.?5. 会求随机变量函数的分布. 一、分布函数 1．随机变量：定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量. 2．分布函数： F(x)?P(X≤ x),??＜x＜?? F（x）为分布函数 ?（1） 0≤F（x） ≤1 3 / 16