内容发布更新时间 : 2024/5/3 19:35:46星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§3 唯 一 性

一、二次型的标准形不唯一，与所作的非退化线性替换有关 我们看到，经过非退化线性替换，二次型的矩阵变成一个与之合同的矩阵.又合同的矩阵有相同的秩，因此，经过非退化线性替换之后，二次型矩阵的秩是不变的.标准形的矩阵是对角矩阵，而对角矩阵的秩就等它对角线上不为零的元素的个数.因之，在一个二次型的标准形中，系数不为零的平方项的个数是唯一确定的，与所作的非退化线性替换无关，二次型矩阵的秩有时就称为二次型的秩. 至于标准形中的系数，就不是唯一确定的.譬如上一节的例子，二次型2x1x2-6x2x3+2x1x3 经过线性替换

3??w1??x1??11?x???1?1?1??w? ?2????2???x3????001????w3??得到标准形

2w12-2w22+6w32 而经过线性替换

1?1??2x?1???x???11?2??2??x??3??00???1???y1?1? ???y23?????y3??1??3??就得到另一个标准形

2y12?y22?y32. 这就说明，在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，而与所作的非退化线性替换有关.

二、复数域上的二次型的规范形.

设f（x1,x2,?,xn）是一个复系数的二次型.经过一适当的非退化线性替换后，f（x1,x2,?,xn）变成标准形.不妨假定它的标准形是

2???dryr2, di?0, i?1,2,?,r. (1) d1y12?d2y21223这里r就是f（x1,x2,?,xn）的矩阵的秩.因为复数总可以开 平方，再作一非退化线性替换

1?y?z1,?1d1???????y?1z,r?rdr ? (2) ??????y?zr?1?r?1???????yn?zn,⑴就变成

2???zr2. (3) z12?z2⑶称为复二次型f（x1,x2,?,xn）的规范形.显然，规范形完全被原二次型矩阵的秩所决定，因此有

定理3 任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范性是唯一的.

推论1：任一复对称矩阵都合同于一个形式为

?1????????1 ??

0???????0????的对角矩阵.

推论2：两个复数对称矩阵合同的充分必要条件是它们的秩相等. 三、实数域上的二次型的规范形.

设f（x1,x2,?,xn）是一实系数的二次型.则经过某一个非退化线性替换，再适当排列文字的次序，可使f（x1,x2,?,xn）变成标准形

22 d1y12???dpy2p?dp?1yp?1???dryr, (4)

其中di?0,i?1,?,r;r是f（x1,x2,?,xn）的矩阵的秩.因为在实数域中，正实数总可以开平方，所以再作一非退化线性替换

1?y?z1,?1d1????????yr?1zr, ? (5) dr??yr?1?zr?1,????????yn?zn,⑷就变成

22 z12???z2p?zp?1???zr. (6)

⑹称为实二次型f（x1,x2,?,xn）的规范形.显然，规范形完全被r，p这两个数所决定.

定理4（惯性定理）： 任意一个实数域上的二次型，经过一适当的非退化线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的.