内容发布更新时间 : 2024/12/23 12:49:19星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

?033??200???233???????A?2E??110???020???1?10?.

??123??002???121???????A?2E?2，因此A?2E可逆.

?033???B?(A?2E)?1A???123?

?110???3．.设PAP??,其中P??解：A?P?P?1,

?1??1?4???10?11,????? ,求A.

?11??02?4?213???1?4???10?1?14?1?1?213 A?P?P???????11??1111??4?2??11??02?3??1?1?3??1?21111?14．设3级方阵A,B满足2AB?B?4E，证明：A?2E可逆，并求其逆.

?1证明：2AB?B?4E两边同左乘以A得到2B?AB?4A.因此有

?1(A?2E)B?4A.由A可逆可得A?2E，且(A?2E)?1?1?1BA. 4?15．设A是一个n级方阵，且R(A)?r，证明：存在一个n级可逆矩阵P使PAP的后n?r行全为零.

证明：R(A)?r，因此矩阵A可以经过一系列行初等变换化为后n?r行全为零.也即存在初等矩阵P使得P后n?r行全为零. P?P1,P1,?,Pm，m?P2PA1m?P2P1,则PA的后n?r行全为零.由矩阵乘法运算可得PAP的后n?r行全为零.

6．设矩阵Am?n,Bn?m，且m?n,AB?E，证明：A的行向量组线性无关. 证明：由m?n,AB?E可得m?r(AB)?r(A)?m，因此r(A)?m.因此A的行向量组线性无关.

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?17．如果A2?A,称A为幂等矩阵.设A,B为n阶幂等矩阵，证明：A?B是幂等矩阵的充要条件是AB?BA?0.

证明：当A?B时幂等阵时，

(A?B)2?A2?AB?BA?B2?A?AB?BA?B?A?B.

因此AB?BA?0.

反之，当AB?BA?0.时有

(A?B)2?A2?AB?BA?B2?A?AB?BA?B?A?B.

A?B是幂等矩阵.

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