内容发布更新时间 : 2024/5/6 21:08:04星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

阿基米德，公元前287年出生在意大利西西里岛的叙拉古，11岁时在被称为“智慧之都”的希腊中心亚历山大城学习，他博阅群书，钻研《几何原本》．阿基米德通过大量实验发现了杠杆原理，又用几何演绎方法推出许多杠杆命题，并给出严格的证明，其中就有著名的“阿基米德原理”，阿基米德是兼数学家与力学家的伟大学者，享有“力学之父”的美称。 23．相交线与平行线 解读课标

在我们生活中存在大量的图形，它们为人类带来无穷无尽的直觉源泉，相交线与平行线随处可见，它们构成同一平面内两条直线的基本位置关系，它们的性质和位置关系是认识和学习其他图形性质的基础．

相交线与平行线都与角相关：两直线相交，对顶角相等；两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补．

我们还可以用角之间的关系来判断两直线是否平行．

与平行线相关的问题一般都是平行线判定与性质的综合运用，有以下两方面应用： 1．角的计算与证明；

2．两直线位置关系的确定． 问题解决

例1 如图，已知AB∥DE，?ABC?90?，?CDE?140?，则?BCD?__________．

试一试 ?ABC、?CDE、?BCD表面上看很难联系起来，过C点作CF∥DE，问题就迎刃而解了． 例2 如图，AB∥CD∥EF∥GH，AE∥DG，点C在AE上，点F在DG上，设与??相等的角的个数为m（不包括??本身），与??互补的角的个数为n，若???，则m?n的值是（ ）． A．8 B．9 C．10 D．11 试一试 略

例3 如图，已知?1??2，?C??D，求证：?A??F．

试一试 从角出发，导出两直线的位置关系，再推出新的角的关系，新的两直线的位置关系是解这类问题的基本思路．

例4 如图，AB、CD是两根钉在木板上的平行木条，将一根橡皮筋固定在A、C两点，点E是橡皮筋上一点，拽动E点将橡皮筋拉紧后，请你探索?A、?C、?AEC之间具有怎样的关系？并说明理由． 试一试 这是一道结论开放的探究性问题，由于E点位置的不确定性，可引起对E点不同位置的分类讨论（如夹在AB、CD之间或之外、内折或外折等），这是解本例的关键． 例5 平面上有7条不同的直线，如果其中任何三条直线都不共点．

（1）你能画出各直线之间的交点个数为n的图形吗？其中n分别为6，12，15．

（2）请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形，从中你能发现什么规律？ 分析与解 设7条直线交点的个数为n，则0≤n≤21．（为什么？）

（1）如图①，得到的交点个数为6个；如图②，得到的交点个数为21个；如图③、④，得到的交点个数分别为12、15．

（2）n的大小直接取决于7条直线中互相平行的直线的数量，因为7条直线中可能有： 一组平行线（2条；3条；4条；5条；6条；7条）；

二组平行线（2条，2条；2条，3条；2条，4条；2条，5条；3条，3条；3条，4条）； 三组平行线（2条，2条，2条；2条，2条，3条）； 没有平行线，

所以当我们探求本题的完整的答案时，可以分为上述四种情况，分别加以研究． 实际上本题的答案共有15个，即

n?0，6，8，10，12，14，15，15，16，17，18，18，19，20，21，其中重复数字表示交点 个数相等但图形不同的答案． 平移变换

例6 平面上有六条两两不平行的直线，试证：在所有的交角中，至少有一个角小于31?． 分析 把平面上的直线平行移动，则移动后的直线所成的角与移动前的直线所成的角是相等的，这样，我们就可将所有的直线移动后，使它们相交于同一点，此时，情况就相对简单得多．

证明 在平面上任取一点O，过O点分别作这6条直线的平行线l1'，l2'，l3'，l4'，l5'，l6'，则由平行线的特性，知l1'，l2'，l3'，l4'，l5'，l6'之间互成的角与原来的6条直线l1，l2，l3，l4，l5，l6之间互成的角相等．

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现在我们考虑l1'，l2'，…，l6'的情况，我们只考察l1'与l2'，l2'与l3'，…，l5'与l6'，l6'与l1'所成的角，由图不难发现这6个角成一个平角，即这6个角的和为180?． 假设这6个角没有一个小于31?，则这6个角都大于或等于31?，从而这6个角的和至少为31??6?186?，这是不可能的，所以，这6个角中至少有一个小于31?，不妨设l1'与l2'所成的角小于31?，则原来的直线l1与l2所成的角也必小于31?． 数学冲浪 知识技能广场

1．如图，用一吸管吸吮易拉罐内的饮料时，吸管与易拉罐上部夹角?1?74?，那么吸管与易拉罐下部夹角?2?________度．

2．如图，已知AE∥BD，?1?130?，?2?30?，则?C?________．

3．将直尺与三角尺按如图所示的方式叠放在一起，在图中标记的角中，与?1互余的角是_______． 4．如图，AD∥EG∥BC，AC∥EF，则图中与?1相等的角（不含?1）有______个；若?1?50?，则?AHG?________．

5．在A、B两座工厂之间要修建一条笔直的公路，从A地测得B地的走向是南偏东52?，现A、B两地要同时开工，若干天后，公路准确对接，则B地所修公路的走向应该是（ ）． A．北偏西52? B．南偏东52? C．西偏北52? D．北偏西38?

6．如图，直线l∥m，将含有45?角的三角板ABC的直角顶点C放在直线m上，若?1?25?，则?2的度数为（ ）．

A．20? B．25? C．30? D．35?

7．如图，已知AB∥CD，那么?A??C??AEC?（ ）． A．360? B．270? C．200? D．180?

8．如图，D、G是△ABC中AB边上的任意两点，DE∥BC，GH∥DC，则图中相等的角共有（ ）． A．4对 B．5对 C．6对 D．7对

9．如图，已知FC∥AB∥DE，?:?D:?B?2:3:4，求?、?D、?B的度数． 10．如图，已知?BFM??1??2，求证：AB∥CD． 思维方法天地

11．如图，l∥m，长方形ABCD的顶点B在直线m上，则???_________．

12．如图，已知AB∥CD，?ABE?120?，?DCE?35?，则?BEC?__________．

13．某人在练车场上练习驾驶汽车，两次拐弯后的行驶方向与原来的方向相反，则这两次拐弯的角度可能是________．①第一次向左拐40?，第二次向右拐40?；②第一次向右拐50?，第二次向左拐130?；③第一次向右拐70?，第二次向左拐110?；④第一次向左拐70?，第二次向左拐110?． 14．已知两个角的两边分别平行，其中一个角为40?，则另一个角的度数为_________． 15．如图，CD∥BE，则?2??3??1的度数等于（ ）． A．90? B．120? C．150? D．180?

16．如图，已知AB∥CD，BF平分?ABE，且BF∥DE，则?ABE与?D的关系是（ ）． A．?ABE?3?D B．?ABE??D?180? C．?ABE??D?90? D．?ABE?2?D

17．探照灯、锅形天线、汽车灯以及其他很多灯具都与抛物线形状有关，如图所示是一探照灯灯碗的纵剖面，从位于O点的灯泡发出的两束光线OB、OC经灯碗反射后平行射出，如果图中?ABO??，?DCO??，则?BOC的度数为（ ）．

1A．180????? B．??? C．????? D．90??????

218．如图，两直线AB、CD平行，则?1??2??3??4??5??6?（ ）． A．630? B．720? C．800? D．900? 19．已知AB∥CD，?AEC?90?．

（1）如图①，当CE平分?ACD时，求证：AE平分?BAC；

（2）如图②，移动直角顶点E，使?MCE??ECD，求证：2?BAE??MCG． 20．如图，已知CD∥EF，?1??2??ABC，求证：AB∥GF． 应用探究乐园 21．（1）如图①，MA1∥NA2，则?A1??A2?_________． 如图②，MA1∥NA3，则?A1??A2??A3?___________．

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如图③，MA1∥NA4，则?A1??A2??A3??A4?___________．

如图④，MA1∥NA5，则?A1??A2??A3??A4??A5?___________．

从上述结论中你发现了什么规律？请在图②，图③，图④中选一个证明你的结论． （2）如图⑤，MA1∥NAn，则?A1??A2??A3???An?______________．

（3）利用上述结论解决问题：如图已知AB∥CD，?ABE和?CDE的平分线相交于F，?E?140?，求?BFD的度数．

22．实验证明，平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等．

（1）如图，一束光线m射到平面镜a上，被a反射到平面镜b上，又被b反射，若被b反射出的光线n与光线m平行，且?1?50?，则?2?_________，?3?________．

（2）在（1）中，若?1?55?，则?3?_______；若?1?40?，则?3?________； （3）由（1）、（2），请你猜想：当两平面镜a、b的夹角?3?________时，可以使任何射到平面镜a上的光线m，经过平面镜a、b的两次反射后，入射光线m与反射光线n平行．请说明理由． 相交线与平行线 问题解决

例1 ?BCF??ABC?80?，?DCF?180???CDE?40?，?BCD??BCF??DCF?40?， 例2 D

例3 先证BD∥CE，再证DF∥BC.

例4 如图，可分别得到下列关系（证法同①） 数学冲浪

1. 106? 2.20? 3.?2、?3、?4 4.5；130? 5.A 6.A 7.A 8.D

9.??72?，?D?108?，?B?144?

10.略 11.25? 12.95? 13.④ 14.40?或140? 15.D 16.D 17.B 18.D 19.（1）略；（2）证法较多，如过E点作EF∥AB或作?MCG平分线CH等.

20.作CK∥FG，延长GF、CD交于H点，则?1??2??BCK?180?，因?1??2??ABC，故?ABC??BCK?180?，即CK∥AB，AB∥GF. 21.（1）180?，360?，540?，720? （2）?n?1?180?

（3）过F点作FG∥AB，则AB∥FG∥CD.

1则?BFD???ABE??CDE?，又?ABE??CDE??E?360?，得?ABE??CDE?220?，故

2?BFD?110?.

22.（1）100?；90? （2）90?；90? （3）90?证明略.

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