内容发布更新时间 : 2024/9/25 5:22:27星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

正弦函数和余弦函数图像与性质

6、1正弦函数与余弦函数的图像与性质

一、复习引入 1、复习

(1)函数的概念

在某个变化过程中有两个变量x、y,若对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值,按照某个对应法则f,y都有唯一确定的实数值与它对应,则y就就是x的函数,记作

y?f?x?,x?D。

(2)三角函数线

设任意角?的顶点在原点O,始边与x轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点P(x,y),过P作x轴的垂线,垂足为M;过点A(1,0)作单位圆的切线,设它与角?的终边(当?在第一、四象限角时)或其反向延长线(当?为第二、三象限角时)相交于T、 规定:当OM与x轴同向时为正值,当OM与x轴反向时为负值;

当MP与y轴同向时为正值,当MP与y轴反向时为负值;

当AT与y轴同向时为正值,当AT与y轴反向时为负值;

根据上面规定,则OM?x,MP?y, 由正弦、余弦、正切三角比的定义有:

sin??cos??yy??y?MP; r1xx??x?OM; r1tan??yMPAT???AT; xOMOA这几条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT叫做角?的正弦线、余弦线、正切线。 二、讲授新课

【问题驱动1】——结合我们刚学过的三角比,就以正弦(或余弦)为例,对于每一个给定的

角与它的正弦值(或余弦值)之间就是否也存在一种函数关系？若存在,请对这种函数关系下一个定义;若不存在,请说明理由.

1、正弦函数、余弦函数的定义 (1)正弦函数:y?sinx,x?R; (2)余弦函数:y?cosx,x?R

【问题驱动2】——如何作出正弦函数y?sinx,x?R、余弦函数y?cosx,x?R的函数

图象？

2、正弦函数y?sinx,x?R的图像

(1)y?sinx,x??0,2??的图像 【方案1】——几何描点法

步骤1:等分、作正弦线——将单位圆等分,作三角函数线(正弦线)得三角函数值; 步骤2:描点——平移定点,即描点?x,sinx?; 步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结各个点

小结:几何描点法作图精确,但过程比较繁。 【方案2】——五点法

步骤1:列表——列出对图象形状起关键作用的五点坐标;

正弦函数和余弦函数图像与性质

步骤2:描点——定出五个关键点;

步骤3:连线——用光滑的曲线顺次连结五个点

小结:y?sinx,x??0,2??的五个关键点就是?0,0?、??2?,0?。

(2)y?sinx,x?R的图像

????3??,1?、??,0?、?,0?、?2??2?由sin?2k??x??sinx,k?Z,所以函数y?sinx在区间?2k?,2k??2??

?k?Z,k?0?上的图像与在区间?0,2??上的图像形状一样,只就是位置不同、

于就是我们只要将函数y?sinx,x??0,2??的图像向左、右平行移动(每次平行移动

2?个单位长度),就可以得到正弦函数y?sinx,x?R的图像。 3、余弦函数y?cosx,x?R的图像 (1)y?cosx,x??0,2??的图像 (2)y?cosx,x?R的图像

图像平移法 由sin?x???????cosx,可知只须将y?sinx,x?R的图像向左平移即可。 2?2?

三、例题举隅

例、作出函数y?1?sinx,x??0,2??的大致图像;

【设计意图】——考察利用“五点法”作正弦函数、余弦函数图像 【解】 ①列表 3?? ? 2? 22sinx 0 1 0 ?1 0 y?1?sinx 1 2 1 0 1 x 0 ②描点 在直角坐标系中,描出五个关键点:

???3???0,1?、 ??,2?、??,1?、?,0?、?2?,1?

?2??2?③连线

练习、作出函数y?1?sinx,x??0,2??的大致图像 2二、性质

1.定义域:

正弦函数、余弦函数的定义域都就是实数集R［或(－∞,＋∞)］, 分别记作:

y＝sinx,x∈R y＝cosx,x∈R 2.值域

因为正弦线、余弦线的长度小于或等于单位圆的半径的长度,所以｜sinx｜≤1, ｜cosx｜≤1,即－1≤sinx≤1,－1≤cosx≤1

也就就是说,正弦函数、余弦函数的值域都就是［－1,1］ 正弦函数和余弦函数图像与性质

其中正弦函数y=sinx,x∈R

?＋2kπ,k∈Z时, 取得最大值1 2?②当且仅当x＝－＋2kπ,k∈Z时,取得最小值－1

2①当且仅当x＝

而余弦函数y＝cosx,x∈R

①当且仅当x＝2kπ,k∈Z时,取得最大值1 ②当且仅当x＝(2k＋1)π,k∈Z时,取得最小值－1 3.周期性

由sin(x＋2kπ)＝sinx,cos(x＋2kπ)＝cosx (k∈Z)知:

正弦函数值、余弦函数值就是按照一定规律不断重复地取得的。

一般地,对于函数f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的每一个值时,都有f(x＋T)＝f(x),那么函数f(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期。

由此可知,2π,4π,……,－2π,－4π,……2kπ(k∈Z且k≠0)都就是这两个函数的周期 对于一个周期函数f(x),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期。 4.奇偶性

由sin(－x)＝－sinx,cos(－x)＝cosx

可知:y＝sinx为奇函数, y＝cosx为偶函数

∴正弦曲线关于原点O对称,余弦曲线关于y轴对称 5.单调性

结合上述周期性可知:

??＋2kπ,＋2kπ］(k∈Z)上都就是增函数,其值从－1223??增大到1;在每一个闭区间［＋2kπ,＋2kπ］(k∈Z)上都就是减函数,其值从1

22正弦函数在每一个闭区间［－

减小到－1。

余弦函数在每一个闭区间［(2k－1)π,2kπ］(k∈Z)上都就是增函数,其值从－1增加到1;在每一个闭区间［2kπ,(2k＋1)π］(k∈Z)上都就是减函数,其值从1减小到－1 图 象 y=sinx y= cosx 定义域 值 域 最 值 R [?1,1] 当且仅当x＝?＋2kπ,k2∈Z时,取得最大值1 当且仅当x＝－周期性 奇偶性 ?＋2k2R [?1,1] 当且仅当x＝2kπ,k∈Z时,取得最大值1 当且仅当x＝(2k＋1)π,k∈Z时,取得最小值－1 π,k∈Z时,取得最小值－1 2? 奇函数 2? 偶函数