内容发布更新时间 : 2025/3/12 19:50:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

泊松过程的模拟和检验

对保险人而言，资产和负债是影响保险人稳定经营至关重要的因素。资产和负债的差额称为盈余，简记作：

其中A(t)A(t)表示时刻tt的资产，L(t)L(t)表示时刻tt的负债，t=0t=0时刻的盈余被称为初始盈余，简记为uu，即U(0)=uU(0)=u。对这个初步的理论模型进行简化并根据实际情况设置一些假定情况，会得出很多不同的盈余过程模型，最经典的有Sparre Andersen的古典盈余过程模型：

这是一个以uu为初值，以时间tt为指标集的随机过程。其中

称为总理赔过程，满足：

N(t)N(t)表示[0,t][0,t]内的总理赔次数，XiXi表示[0,t][0,t]内第ii次理赔的金额。

根据这个古典盈余过程模型可以引出破产模型，在这个盈余过程模型中，一方面有连续不断的保费收入并以速度c进行积累，另一方面则是不断会有理赔需要支付，因此这是一个不断跳跃变化的过程。从保险人的角度来看，当然希望ct?S(t)ct?S(t)恒大于0，否则就有可能出现U(t)<0U(t)<0的情况，这种情况可以定义为理论意义上的破产，以示与实际中的破产相区分，本文中后面出现的“破产”在没有特殊说明的情况下都是指这种理论情况。从研究保险人破产角度出发，可以把这个盈余过程模型看做是一个特殊的破产模型。

一、 泊松过程的模拟

理论基础：泊松过程构造定理 具体步骤： 1、 2、 3、 4、

即满足泊松过程

生成一定数量的满足指数分布的随机数，用()表示 ()表示第n次事件到达的时间， 表示在时间t内发生的事件次数，

这里用R语言来实现模拟，设置指数分布的参数 = 2(在R语言中用rate表示)，产生的服从指数分布的随机序列如下图所示：

然后再计算()，结果如下图所示：

最后计算，实验结果如下图所示：

最后将结果进行可视化处理，可以直观的看到是一个平稳的增量过程，如下图所示：