内容发布更新时间 : 2026/1/13 0:59:52星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
11.2 排列、组合与二项式定理
核心考点·精准研析
考点一 排列、组合的基本问题
1.某校根据2017版新课程标准开设A类选修课3门,B类选修课4门,一位同学从中共选3门.若要求两类课程中各至少选一门,则不同的选法共有 A.30种 C.42种
B.35种 D.48种
( )
2.在由数字1、2、3、4、5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23 145且小于43 521的数共有 A.56个 C.58个
( ) B.57个 D.60个
3.八个人分两排坐,每排四人,限定甲必须坐在前排,乙、丙必须坐在同一排,共有________种安排办法.
4.(2018·浙江高考)从1,3,5,7,9中任取2个数字,从0,2,4,6中任取2个数字,一共可以组成________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【解析】1.选A.按照所选的3门课程中A类的情形分两类:第一类,2门A类选修课,1门B
类选修课,有种方法;第二类,1门A类选修课,2门B类选修课,有种方法,所
以由分类加法计数原理得不同的选法共有2.选C.按照首位的大小分类: (1)开头为231的,有一个.
+=12+18=30(种).
(2)开头为23的,第三位从4,5中选一个,有个.
种,余下的后两位,有种,共有=4
(3)开头为2,第2位从4,5中选一个,有种,余下的后3位,有种,共有=12个.
(4)开头为3,后四位由1,2,4,5全排列,有4!=24个.
(5)开头为4,第二位为1,2中的一个,有2种方法,后三位有3!=6种方法,共有2×6=12个. (6)开头为43,第三位从1,2中选一个,有2种方法,后两位有2!种方法,共有2×2=4个. (7)开头为435的,只有1个,
所以由分类加法计数原理得所求的数共有1+4+12+24+12+4+1=58(个).
3.方法一:可分为“乙、丙坐在前排,甲坐在前排的八人坐法”和“乙、丙在后排,甲坐在前排的八人坐法”两类情况.应当使用分类加法计数原理,在每类情况下,划分“乙、丙坐下”“甲坐下”“其他五人坐下”三个步骤,又要用到分步乘法计数原理,这样可有如下算法:
··+··=8 640(种).
方法二:采取“总方法数减去不符合题意的所有方法数”的算法.把“甲坐在前排的八人坐法
数”看成“总方法数”,这个数目是·.在这种前提下,不合题意的方法是“甲坐在前
排,且乙、丙坐两排的八人坐法,”这个数目是····.其中第一个因数
表示甲坐在前排的方法数,
表示从乙、丙中任选出一人的方法数,
表示把选出的
这个人安排在前排的方法数,下一个
则表示乙、丙中未安排的那个人坐在后排的方法数,
·
-·
·
·
·
=8
就是其他五人的坐法数,于是总的方法数为640(种). 答案:8 640
4.分类讨论:第一类:不含0的,按照分步乘法计数原理:10×3×24=720;
=
第二类:包含0的,按照分步乘法计数原理:
所以一共有1 260个没有重复数字的四位数. 答案:1 260
=10×3×3×6=540,
1.求解有限制条件的排列问题的主要方法
分 选定一个适当的分类标准,将要完成的事件分成几个类型,分别计算每个类型中类 直 法 接 分 法 步 再由分步乘法计数原理得出总数 法 相邻问题捆绑处理,即可以把相邻几个元素看作一个整体与其他元素进行排列,捆绑法 同时注意捆绑元素的内部排列 不相邻问题插空处理,即先考虑不受限制的元素的排列,再将不相邻的元素插在插空法 前面元素排列的空中 除法 间接法 对于定序问题,可先不考虑顺序限制,排列后,再除以已定元素的全排列 对于分类过多的问题,按正难则反,等价转化的方法 选定一个适当的标准,将事件分成几个步骤来完成,分别计算出各步骤的排列数,的排列数,再由分类加法计数原理得出总数 2.两类含有附加条件的组合问题的方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:若“含”,则先将这些元素取出,再由另外元素补足;若“不含”,则先将这些元素剔除,再从剩下的元素中选取.
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型:解这类题目必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义,谨防重复与漏解.用直接法或间接法都可以求解,用直接法分类复杂时,可用间接法求解.
考点二 排列、组合的综合问题
【典例】1.从A,B,C,D,E 5名学生中选出4名分别参加数学、物理、化学、外语竞赛,其中A不参加物理、化学竞赛,则不同的参赛方案种数为 A.24
B.48
C.72
D.120
( )
2.把20个不加区别的小球放入1号,2号,3号的三个盒子中,要求每个盒内的球数不小于它的编号数,则不同的方法种数为________. 3.对于任意正整数n,定义“n的双阶乘n!!”如下:
当n为偶数时,n!!=n··……6·4·2,
当n为奇数时,n!!=n··……5·3·1,
现有四个结论:①(2018!!)·(2019!!)=2019!,
②(2n)!!=2
n
,③2018!!的个位数字是8,
④<,
则四个结论中正确的是________. 【解题导思】 序号 1 2 放上1,2个球,变成了挡板问题. 3 看到双阶乘,联想到阶乘. 联想解题 由“A不参加物理、化学竞赛”联想到分类:A参加,A不参加. 由题意知小球没有区别,及盒子内球数不小于编号数,联想到先在2,3号盒子里分别【解析】1.选C.因为A参加时参赛方案有=48(种);A不参加时参赛方案有
=24(种),所以不同的参赛方案共72种.
2.先在编号为2,3的盒内分别放入1个,2个球,还剩17个小球,三个盒内每个至少再放入1个,将17个球排成一排,有16个空隙,插入2块挡板分为三堆放入三个盒中,即可共有
C=120种方法.
答案:120
3.因为(2018!!)·(2019!!)=(2018×2016×…×6×4×2)× (2019×2017×…×5×3×1)
=2019×2018×2017×…×5×4×3×2×1=2019!所以①是正确的. 因为(2n)!!
=··……6·4·2=2
n
··……3·2·1=2
n
,