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2019年新课标全国卷1理科数学考点讲评与真题分析

6．立体几何

一、考试大纲

1．空间几何体

(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. (2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.

(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.

(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求). (5)了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 2．点、直线、平面之间的位置关系

(1)理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理.

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点都在此平面内. 公理2：过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面.

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.

定理：空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行,那么这两个角相等或互补.

(2)以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理.

理解以下判定定理.

如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. 如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 理解以下性质定理,并能够证明.

如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 垂直于同一个平面的两条直线平行.

如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 4．空间直角坐标系

(1)了解空间直角坐标系,会用空间直角坐标表示点的位置. (2)会推导空间两点间的距离公式.

二、考点讲评与真题分析

立体几何小题常考的题型包括：（1）球体；（2）多面体的三视图、体积、表面积或角度，包括线线角、线面角以及面面角，要重视常见几何体的三视图、三视图还原几何体的常用方法、面积和体积的计算式以及点线面的位置关系等，也要注意提高空间想象能力与数学计算能力．

立体几何解答题第1问主要集中考查空间中直线、平面的位置关系的判断，注重对公理、定理的考查，而第2问多考查空间向量在空间立体几何中的应用，在证明与计算中一般要用到初中平面几何的重要定理，空间思维要求较高，运算量较大，对学生的空间想象能力、转化能力、计算能力要求较高．在考查考生运算求解能力的同时侧重考查考生的空间想象能力和推理论证能力，给考生提供了从不同角度去分析问题和解决问题的可能，体现了立体几何教学中课程标准对考生的知识要求和能力要求，提升了对考生的数学能力和数学素养的考查.本试题能准确把握相关几何元素之间的关系，把推理论证能力、空间想象能力等能力和向量运算、二面角作图、建立空间直角坐标系等知识较好地融入试题中，使考生的空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力得到了有效考查.

题型一 空间几何体的结构——三视图、表面积、体积

例1 （2017·新课标Ⅰ，7）某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形，该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（ ）

A．10 B．12 C．14 D．16

解析：由三视图可画出立体图，该立体图平面内只有两个相同的梯形的面，S梯??2?4??2?2?6，

S全梯?6?2?12，故选B；

题型二 空间中点、线、面的位置关系的判断

例2 （2015·新课标Ⅰ，18）如图，四边形ABCD为菱形，?ABC?120?，E,F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE?2DF，

AE?EC.

（I）证明：平面AEC⊥平面AFC； （II）求直线AE与直线CF所成角的余弦值.

解：（Ⅰ）证明：连接BD，设BD?AC?G，连接EG，

FG，EF.

在菱形ABCD中，不妨设GB?1，由

?ABC?120?，可得AG?GC?3，由BE⊥平面ABCD，AB?BC，可知AE?EC.又AE?EC，

所以EG?3，且EG?AC.

在Rt?EBG中，可得BE?2,故DF?26.在Rt?FDG中，可得FG?. 22在直角梯形BDFE中，由BD?2，BE?2，DF?232，可得EF?. 22因为EG2?FG2?EF2，所以EG?FG，又AC?FG?G，则EG?平面AFC. 因为EG?平面AEC，所以平面AFC⊥平面AEC. ??6分 （Ⅱ）如图，以G为坐标原点，分别以

????????????GB,GC的方向为x轴，y轴正方向，|GB|为单

度，建立空间直角坐标系G?xyz，

由（Ⅰ）可得A(0,?3,0)，E(1,0,2)，

位长

????2F(?1,0,)，E(0,3,0)，AE?(1,3,2)，

2????????????????????2AE?CF3???????. CF?(?1,?3,).故cos?AE,CF?????23|AE||CF|所以直线AE与直线CF所成的角的余弦值为

题型三 空间几何中的轨迹问题

例3 (2018·新课标全国Ⅰ卷理7) 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图所示，圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）

A．217

3. ??12分 3

B．25

C．3 D．2

【答案】B解析：当路径为线段MN时，长度最短，故最短路径的长度为22?42?25.