内容发布更新时间 : 2024/5/23 10:41:15星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

参考答案及评分标准 试卷编号： 6031 (A)卷 课程编号： H55020190 课程名称： 数学物理方法 考试形式： 闭卷 适用班级 物理系07各专业 姓名： 学号： 班级： 学院： 专业： 考试日期： 题号 题分 得分 考生注意事项：1、本试卷共7页，请查看试卷中是否有缺页或破损。如有立即举手报告以便更换。2、考试结束后，考生不得将试卷、答题纸和草稿纸带出考场。 3、请仔细阅读题前的说明。 一 36 二 40 三 24 四 五 六 七 八 九 十 总分 100 累分人 签名 南昌大学 2011学年第二学期期末考试试卷

一、填空题(每小题 3 分，共 36 分) 得分 评阅人 1.复数 ln(?4)?ln4?(2k?1)?i2. ?2009(k?0,?1,?2,?)。 ?2008[sinx??(x??6) ]dx? -1/2 。 3. 复数cosi?(e?e?1)/2。 4. 若解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的虚部v(x,y)?x2?y2?xy， 则实部u(x,y)?(x2?y2)/2?2xy?c 。 5. f(z)?1/[(z?2)(z?3)]在2?|z|?3可展开为洛朗级数： f(z)???[2nz?(n?1)?3?(n?1)zn] n?0?6. 函数f(z)?ze1/z在z?0的奇点类型为 本性奇点 ，其留数为 1/2 。 第 1 页 共 5页

7. 设m,n为整数,则?8. 函数 f(t)??? ??(sinmx?cosnx)dx? 0 。 ?t?0(|t|?1)的傅里叶变换为2(?cos??sin?/?)/(??)。 (|t|?1)(Rep?0)。 9. 1?2t的拉普拉斯变换即L(1?2t)?(1/p?2/p2)10. 数学物理方程定解问题的适定性是指_解的存在性，唯一性，稳定性。 11. 一根两端(左端为坐标原点而右端x?l）固定的弦，用手在离弦左端长为1/5处把弦朝横向拨开距离h，然后放手任其振动。横向位移u(x,t)的初始条件为 5hx/l?ut?0,u???5h(l?x)/(4l)(0?x?l/5)。 (l/5?x?l)12. 判断下面的说法是否正确，正确的在题后的“（）”中打√，错误的打×。 （1）若函数f(z)在z点解析，则函数f(z)在z点可导。 （√） （2）uxy?2yuux?6xuy?uyy?x3y2u是二阶线性齐次偏微分方程。 （×） （3）设z为复数，则limsinz?0 （×） z??ez 二、求解题(每小题 10 分，共 40 分) 得分 评阅人 说明：要求给出必要的文字说明和演算过程。 1. 用留数定理计算复积分I?|z|?3/2?dz。 22(z?1)(z?2)解： 回路内有两个一阶极点z1?i,z2??i. （2分）其留数为 Resf(z1)?lim[(z?i)f(z)]z?2iResf(z2)?lim[(z?i)f(z)]z??2i ?lim1/[(z?i)(z?2)2]z?2i ?lim1/[(z?i)(z?2)2]z?2i ?1/[2i(i?2)2]?(4?3i)/50（3分）?1/[?2i(?i?2)2]?(4?3i)/50（3分）I?2?i(Resf(z1)?Resf(z2))?8?i/25 （2分）。 第 2 页 共 5页

2. 用留数定理计算实积分 I??02?dx。 5?3sinxdx?dz/(iz). （2分） 于是， 解： 设z?eix,则sinx?(z?z?1)/(2i), I?dz/(iz)dz （2分） ?2?12??|z|?15?3(z?z)/(2i)|z|?13z?10iz?3f(z)?1/(3z2?10iz?3)的零点z1??i/3, z2??3i. 其中只有z1为单位圆内一阶极点（2分）， 其留数为Resf(z1)?lim[(z?z1)f(z)]?limz?z1111?? （2分） z?z13(z?z)3(z1?z2)8i2由留数定理得 I?2?i?2?1??. （2分） 8i2d2ydy?6y?e?t,y(0)?y'(0)?1 (可使用拉普拉斯变换3. 解常微分方程初值问题2?dtdt或其它任何方法)。 解：对方程拉普拉斯变换得 (p2y?p?1)?(py?1)?6y?1（2分），于是 p?11p?(p?3)(p?1)(p?2)(p?3)(p?2)111312/3?[?]?[?] 5(p?3)(p?1)(p?1)(p?2)5p?3p?21311131???(6分)20p?34p?15p?2y?y?133t1?t3?2te?e?e. （2分） 20454. 试判断偏微分方程uxx?2uxy?8uyy?2ux?6uy?2xy?3?0类型并寻找自变量函数变换使方程能够化为标准形（注意：不必写出标准形）。 解：特征方程(dy2dy)?2?8?0（2分），判别式??22?4?1?(?8)?36?0故方程为双dxdx曲型（2分）。特征方程的解为y?2x?c1,所以，可化为标准形的自变量函数变换为 ??y?2x,y?4x?c2 （c1和c2为任意常数）（4分）。 ??y?4x. （2分） 第 3 页 共 5页

三、偏微分方程求解题 (共24 分) 1. 求解波动方程utt?uxx?0初始条件 ut?0?x,ut(???x???)满足 t?0?x2cosx的定解问题。 (本小题 10 分) 解： 由达朗贝尔公式可得 11x?t2u?[(x?t)?(x?t)]???cos?d?(4分)x?t22x?t12??x?t?x??sin?|??x?t???sin?d?(2分)x?t21?x?[(x?t)2sin(x?t)?(x?t)2sin(x?t)]2 ?t??cos?|xcos?d?x?t??x?tx?t (2分)1[(x?t)2sin(x?t)?(x?t)2sin(x?t)]?(x?t)cos(x?t)2?(x?t)cos(x?t)?sin(x?t)?sin(x?t)(2分)?x?2. (1) 已知矩形区域0?x??,0?y??上的拉普拉斯方程 试导出其一般解为 (0?x??, 0?y??);?uxx?uyy?0, ? u|?0, u|?0;x???x?0? u(x, y)?ny?ny(Ae?Be)sinnx ， ?nnn?1其中An和Bn是只与n有关的系数。 (9分) (2) 利用(1)的结果求解泊松方程 (0?x??, 0?y??);?uxx?uyy?siny ??u|x?0? u|x????siny; ?u|?0,u|?sinxcosx.y???y?0提示：寻找泛定方程的一个特解v,使得经变换u?v?w后所得w的泛定方程和第一组边值都是齐次的。(5分) (1) 证明： 设有试探解u?X(x)Y(y)，(1分) 代入泛定方程和齐次边界条件 第 4 页 共 5页

?X''??X?0 ??X(0)?X(?)?0Y''??Y?0. (1分) 2(n?1,2,3,?) 求解本征值问题，得本征值??n(n?1,2,3,?) (4分) 本征函数X(x)?Csinnx再解Y的微分方程得Y(y)?Ae所以，一般解为 ?ny?Be?ny (2分) ny?ny u(x, y)??(Ane?Bne)sinnx (1分) n?1 （2）解：特解v??siny, (1分) 变换u?v?w使 (0?x??, 0?y??);?wxx?wyy?0 ?w|? w|x???0; ?x?0 (1分) ?w|?0,w|?sinxcosx.y???y?0由（1）得满足w的齐次泛定方程和第一组齐次边值的解为 ny?nyw?(Ae?Be)sinnx (1分) ?nn n?1?因为上述解还满足第二组边界条件，于是 ?An?Bn?0 ?? ?(Aen??Be?n?)sinnx?1sin2x n??n2?n?1即A2??B2?最后，得解 2(e2?1,An?Bn?0(n?2). (1分) ?2??e)12y?2yu(x, y)??siny?(e?e)sin2x. (1分) 2??2?2(e?e)

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