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证明：作点C关于FD的对称点G， 连接GK，GM，GD，

则CD=GD ，GK = CK，∠GDK=∠CDK， ∵D是AB的中点，∴AD=CD=GD． ∵?A?30°，∴∠CDA=120°，

∵∠EDF=60°，∴∠GDM+∠GDK=60°， ∠ADM+∠CDK =60°． ∴∠ADM=∠GDM， ∵DM=DM，

∴△ADM≌△GDM，∴GM=AM． ∵GM+GK＞MK，∴AM+CK＞MK． （3）∠CDF=15°，MK?3．

AM2EGFKCMADB8．（2010江苏无锡）如图1是一个三棱柱包装盒，它的底面是边长为10cm的正三角形，

三个侧面都是矩形．现将宽为15cm的彩色矩形纸带AMCN裁剪成一个平行四边形ABCD（如图2），然后用这条平行四边形纸带按如图3的方式把这个三棱柱包装盒的侧面进行包贴（要求包贴时没有重叠部分），纸带在侧面缠绕三圈，正好将这个三棱柱包装盒的侧面全部包贴满．

（1）请在图2中，计算裁剪的角度∠BAD；

（2）计算按图3方式包贴这个三棱柱包装盒所需的矩形纸带的长度．

AM图1

DNCB 图2

A

【答案】（1）由图2的包贴方法知：AB的长等于三棱柱的底边周长，∴AB=30 ∵纸带宽为15，∴sin∠DAB=sin∠ABM=

AMAB?1530?12图3

，∴∠DAB=30°．

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（2）在图3中，将三棱柱沿过点A的侧棱剪开，得到如图甲的侧面展开图，

DFACEBDFCEB图甲

A图乙

将图甲种的△ABE向左平移30cm，△CDF向右平移30cm，拼成如图乙中的□ABCD， 此平行四边形即为图2中的□ABCD 由题意得，知：BC=BE+CE=2CE=2×

CDcos30??403，

∴所需矩形纸带的长为MB+BC=30·cos30°+403=553cm．

9．（2010 河北）观察思考

某种在同一平面进行传动的机械装置如图14-1，图14-2 是它的示意图．其工作原理是：滑块Q在平直滑道l上可以

左右滑动，在Q滑动的过程中，连杆PQ也随之运动，并且

PQ带动连杆OP绕固定点O摆动．在摆动过程中，两连杆的接点P在以OP为半径的⊙O上运动．数学兴趣小组为进一步研 究其中所蕴含的数学知识，过点O作OH ⊥l于点H，并测得

OH =4分米，PQ = 3分米，OP = 2分米．

解决问题

（1）点Q与点O间的最小距离是 分米；

l 点Q与点O间的最大距离是 分米；

点Q在l上滑到最左端的位置与滑到最右端位置间 的距离是 分米．

（2）如图14-3，小明同学说：“当点Q滑动到点H的位

置时，PQ与⊙O是相切的．”你认为他的判断对

吗？

为什么？

（3）①小丽同学发现：“当点P运动到OH上时，点P到l

的距离最小．”事实上，还存在着点P到l距离最大 的位置，此时，点P到l的距离是 分米； ②当OP绕点O左右摆动时，所扫过的区域为扇

l 形，

求这个扇形面积最大时圆心角的度数．

滑道 滑块 连杆

图14-1

H Q

P O 图14-2

H （Q）

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图14-3

【答案】解：（1）4 5 6；

（2）不对．

∵OP = 2，PQ = 3，OQ = 4，且42≠32 + 22，即OQ2≠PQ2 + OP2， ∴OP与PQ不垂直．∴PQ与⊙O不相切． （3）① 3；

②由①知，在⊙O上存在点P，P?到l的距离为3，此时，OP将不能再向下转动，如图3．OP在绕点O左右摆动过程中所扫过的最大扇形就是

H ． Q Q?P ?OP

l

连结P?P，交OH于点D．

P? D O P ∵PQ，P?Q?均与l垂直，且PQ =P?Q??3， ∴四边形PQQ?P?是矩形．∴OH⊥PP?，PD =P?D． 由OP = 2，OD = OH?HD = 1，得∠DOP = 60°．

图3

∴∠POP? = 120°．

∴ 所求最大圆心角的度数为120°．

10．（2010 山东省德州） ●探究 (1) 在图1中，已知线段AB，CD，其中点分别为E，F．

①若A (-1，0)， B (3，0)，则E点坐标为__________；

y ②若C (-2，2)， D (-2，-1)，则F点坐标为__________； (2)在图2中，已知线段AB的端点坐标为A(a，b) ，B(c，d)， CB A 求出图中AB中点D的坐标（用含a，b，c，d的

x O 代数式表示），并给出求解过程． D ●归纳 无论线段AB处于直角坐标系中的哪个位置，

第22题图1 y 当其端点坐标为A(a，b)，B(c，d)， AB中点为D(x，y) 时， B D x=_________，y=___________．（不必证明）

A ●运用 在图2中，一次函数y?x?2与反比例函数

O x 第22题图2 3

y?的图象交点为A，B．

3xy= y x①求出交点A，B的坐标；

B

②若以A，O，B，P为顶点的四边形是平行四边形， x O 请利用上面的结论求出顶点P的坐标． 【答案】解： 探究 (1)①(1，0)；②(-2，

1)； 2A y=x-2

第22题图3

(2)过点A，D，B三点分别作x轴的垂线，垂足分别为

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A?，D?，B? ，则AA?∥BB?∥CC?．

∵D为AB中点，由平行线分线段成比例定理得

y D B A?D?=D?B?．

c?aa?c?． 22a?c即D点的横坐标是

2b?d同理可得D点的纵坐标是．

2a?cb?d∴AB中点D的坐标为(，)．

22a?cb?d归纳：，．

22∴OD?=a?A O A′ D′ B′x y y=3 xB O A y=x-2 P x ?y?x?2，?运用 ①由题意得? 3.y??x??x?3，?x??1，解得?或?．

..y?1y??3??∴即交点的坐标为A(-1，-3)，B(3，1) ． ②以AB为对角线时，

由上面的结论知AB中点M的坐标为(1，-1) ． ∵平行四边形对角线互相平分， ∴OM=OP，即M为OP的中点． ∴P点坐标为(2，-2) ．

同理可得分别以OA，OB为对角线时， 点P坐标分别为(4，4) ，(-4，-4) ．

∴满足条件的点P有三个，坐标分别是(2，-2) ，(4，4) ，(-4，-4) ．

11．（2010江西）课题：两个重叠的正多边型，其中一个绕某一顶点旋转所形成的有关问题。

实验与论证

设旋转角∠A1A0B1=α（α< A1A0A2）, θ3，θ4，θ5，θ6，所表示的角如图所示。 （1）用含α的式子表示角的度数：

θ3=___________θ4=_____________θ5=____________

（2）图1－图4中，连接A0H时，在不添加其他辅助线的情况下，是否存在与直线A0H垂

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直且被它平分的线段？若存在，请选择期中的一个图给出证明；若不存在，请说明理由； 归纳与猜想

设正n边形A0A1A2?An－1与正n边形A0B1B2?Bn－1重合（其中，A1与B1重合），现将正n180??边形A0B1B2?Bn－1绕顶点A0逆时针旋转α（0???）． n（3）设θn与上述“θ3，θ4，?”的意义一样，请直接写出θn的度数；

（4）试猜想在正n边形的情形下，是否存在与直线A0H垂直且被它平分的线段？若存在，

请将这条线段用相应的顶点字母表示出来（不要求证明）；若不存在，请说明理由．

B2A2B3A3B2B3A2B4A4A3B3A3B2A25H4HB2B4A4HHB1θA0θA5B5θA0B1αA13B1A0αA1θA0A26B1αA1αA1图1　　　　　　　　　　　　图2　　　　　　　　　　 图3　　　　　　　　　　 　图4【答案】解：（１）60???,?,36???．

（２）答案不唯一，选图１，图１中有直线A0H垂直平分A2B1．

证明：∵VA0A1A2与VA0B1B2是全等的等边三角形，∴A0A2?A0B1，∴?A0A2B1??A0B1A2，∴A2H?B1H，∴点H在线段A2B1的垂直平分线上，所以直线A0H垂直平分A2B1． （３）当n为奇数时，?n?当n为偶数时，?n??．

（４）存在，当n为奇数时，直线A0H垂直平分An?1Bn?1．

22180??? n当n为偶数时，直线A0H垂直平分AnBn．

2212．（2010江苏淮安）(1)观察发现

如题26(a)图，若点A，B在直线l同侧，在直线l上找一点P，使AP+BP的值最小． 做法如下：作点B关于直线l的对称点B?，连接AB?，与直线l的交点就是所求的点P 再如题26(b)图，在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上

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