内容发布更新时间 : 2025/1/5 18:24:55星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第42练 矩阵与变换

[题型分析·高考展望] 本讲从内容上看，主要考查二阶矩阵的基本运算，考查矩阵的逆运算及利用系数矩阵的逆矩阵求点的坐标或曲线方程等，一般以基础题目为主，难度不大.又经常与其他知识结合，在考查基础知识的同时，考查转化与化归等数学思想，以及分析问题、解决问题的能力.

常考题型精析

题型一 常见矩阵变换的应用 例1 已知曲线C：xy＝1.

(1)将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程； (2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程.

点评 把握常见矩阵变换类型，比用一般矩阵运算处理要方便得多，同时，从前后曲线性质分析上，可以加深对曲线性质的理解.

变式训练1 已知直线l：ax＋y＝1在矩阵A＝?(1)求实数a，b的值；

x0??x0??(2)若点P(x0，y0)在直线l上，且A??＝??，求点P的坐标.

?y0??y0?

题型二 二阶矩阵的逆矩阵 例2 设矩阵M＝?

?1 ?0

2?

?对应的变换作用下变为直线l′：x＋by＝1. 1?

?a ?0

0?b?

?(其中a>0，b>0).

－

(1)若a＝2，b＝3，求矩阵M的逆矩阵M1；

x22

(2)若曲线C：x＋y＝1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C′：＋y＝1，求a，b的值.

4

2

2

1

点评 对于二阶矩阵，若有AB＝BA＝E，则称B为A的逆矩阵.因而求一个二阶矩阵的逆矩阵，可用待定系数法求解.

2 1??1 1?. 变式训练2 (2015·福建)已知矩阵A＝?，B＝?4 3??0 －1?(1)求A的逆矩阵A1；

－

(2)求矩阵C，使得AC＝B.

题型三 求矩阵的特征值与特征向量

?1 －1?

例3 已知矩阵A＝??，其中a∈R，若点P(1,1)在矩阵A的变换下得到点P′(0，－3).

?a 1?

(1)求实数a的值；

(2)求矩阵A的特征值及特征向量.

点评 (1)注意特征值与特征向量的求法及特征向量的几何意义：从几何上看，特征向量的方向经过变换矩阵M的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变(λ>0)，或者方向相反(λ<0).特别地，当λ＝0时，特征向量就被变成了零向量. (2)计算矩阵M＝?

?a ?c

d?

b?

?的特征向量的步骤如下：

2

?λ－a －b?

①由矩阵M得到特征多项式f(λ)＝??；②求特征多项式的根，即求λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0的

?－c λ－d?

???λ－a?x－by＝0

根；③将特征多项式的根(特征值)代入特征方程?，求解得非零解对应的向量，即是矩阵

?－cx＋?λ－d?y＝0?

M对应的特征向量.

变式训练3 (2015·江苏)已知x，y∈R，向量α＝?求矩阵A以及它的另一个特征值.

高考题型精练

2 ?1.(2014·福建)已知矩阵A的逆矩阵A＝??1

－1

? 1??x

?是矩阵A＝?

?y ?－1?

1?0?

?的属于特征值－2的一个特征向量，

1?2?

?.

(1)求矩阵A； (2)求矩阵A

2.(2014·江苏)已知矩阵A＝?

3.已知矩阵A＝?

－1

的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

?－1 2??1 1??2?

?，B＝??，向量α＝??，x，y为实数.若Aα＝Bα，求x＋y的值.

?y?? 1 x??2 －1?

? 1 －3??1

，B＝??

?0 ?－1 －1?

2?1?

?.

3