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LU和QR法解线性方程组

一、 问题描述

?4?8求解方程组??4??12要求：

1、编写用三角（LU）分解法求解线性方程组； 2、编写用正交三角（QR）分解法求解线性方程组。

275?10??836??61120?12?x1???2??x???7??2?==??, ?x3???7??????x4???3?二、问题分析

求解线性方程组Ax=b，其实质就是把它的系数矩阵A通过各种变换成一个下三角或上三角矩阵，从而简化方程组的求解。因此，在求解线性方程组的过程中，把系数矩阵A变换成上三角或下三角矩阵显得尤为重要，然而矩阵A的变换通常有两种分解方法：LU分解法和QR分解法。

1、LU分解法：

将A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U，即：A=LU,

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?10?l121其中 L=??????ln1ln22、QR分解法：

?0??u11u12?0u?0?22?， U=??0?0?0???1?0?0?u1n??u2n?? ?????unn?将A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R,即：A=QR

三、实验原理

1、LU分解法

解Ax=b 的问题就等价于要求解两个三角形方程组： ⑴ Ly=b,求y; ⑵ Ux=y,求x.

设A为非奇异矩阵,且有分解式A=LU, L为单位下三角阵,U为上三角阵。 L,U的元素可以有n步直接计算定出。用直接三角分解法解Ax=b（要求A的所有顺序主子式都不为零）的计算公式：

① uli?ali(i?1,2,?,n),lil?ail/u11 ,i=2,3,…，n. 计算U的第r行，L的第r列元素(i=2,3,…,n)： ② uri?ari??lk?1r?1r?1rkuki ， i=r,r+1,…,n;

③ lir?(air??lk?1ikukr)/urr , i=r+1,…,n,且r≠n.

求解Ly=b，Ux=y的计算公式；

y1?b1, ④

yi?bi??likyk,i?2,3,?n:k?1i?1

xn?yn/unn,⑤

xi?(yi?k?i?1?unikxk)/uii,i?n?1,n?2,?,1.

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2、QR分解法

四、实验步骤

1、LU分解法

1>将矩阵A保存进计算机中，再定义2个空矩阵L，U以便保存求出的三角矩阵的值。 利用公式①，②，③将矩阵A分解为LU，L为单位下三角阵,U为上三角阵。 2>可知计算方法有三层循环。

先通过公式①计算出U矩阵的第一行元素uli 和L矩阵的第一列元素lil。

再根据公式②和③，和上次的出的值，求出矩阵其余的元素，每次都要三次循环，求下一个元素需要上一个结果。 3>先由公式④ ，Ly=b

y1?b1,

yi?bi??likyk,i?2,3,?n:k?1i?1

求出y，因为L为下三角矩阵，所以由第一行开始求y. 4>再由公式⑤，Ux=y

xn?yn/unn,xi?(yi?k?i?1?unikxk)/uii,i?n?1,n?2,?,1.

求出x, 因为U为上三角矩阵，所以由最后一行开始求x. 2、QR分解法

五、程序流程图

1、LU分解法

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