内容发布更新时间 : 2024/5/4 11:49:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第三章 样条插值和曲线拟合
1．y?x有如下的函数表
x 0 1 4 9 16 y 0 1 2 3 4 试用一次、二次、三次、四次多项式插值函数求8，看哪一个最接近8。 解 先作差商表
010111342159317???161601210
160?1420?31100811p3(8)?1?(8?1)?(8?1)(8?4)3601?(8?1)(8?4)(8?9)?2.844444?420?3
164故：p1(8)?2?
1(8?4)?2.8 51p4(8)?0?1?(8?0)?8(8?1)611?8?7?4?8?7?4?(?1)?2.622?2601008 已知
利用Neville方法得:
11p2(8)?2?(8?4)?(8?4)(8?9) 5210?2.819047?619xi
0
1
4
9
16 xi
0
1
4
9
-1
4
3
7
2
8-xi
8
1
-8
f(xi)
0
-1
4
4
3
7
2
8-xi
8
1
f(xi)
0
8?2.8284?2，7因此选定
x1?4,x2?9,x3?16,p2(8)最接近8。
16 -8 4 已知8?2.828427?，故选定x1 2.8284271
8
-1.33333333 3.3333333 2.4 2.866666667 2.6222222
2.8 2.8444444 2.819047619 2.8571429 f(8)= 2.828427125
8
-1 1/3 3 1/3 2 2/5 2 13/15 2 28/45 2 4/5 2 38/45 2 86/105 2 6/7
?4,x2?9,x3?16,p2(8)=2.819047619最接近8.
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2．f(x)?x,在[?1,1]上取h?0.5，作4次多项式的等距插值，求P4?1，并比较与f?12?2?的差别，如果用分段插值，那么结果将如何？ 解：（1）先作差商表 ?11?1?12012120?14301122?4301 ?43114111所以：p4(x)?1?(x?1)?4，故：p4(1。 )(x?13(x?12)x?3(x?1)(x?2)x(x?2)2)?2x?1211x?0（2）若采用分段插值，则在[0,2]上，L(x)?f(0)?f(?x，所以： 2)110?22?0111，结果一样。 L(12)?2?f(2)?p4(2)?3．解 （1）若记L(x)为tgx在????上的分段线性插值函数，则 4,4M22h,x?[xi,xi?1] 8M2212?4??R(x)?tgx?L(x)?h?h?10tgx?4其中M2?max，欲使，故 ??x????,8244R(x)?tgx?L(x)?h?2?10?2?0.014142?
?（2）如果采用分段二次插值，若L2(x)为tgx在????上的分段二次插值函数，则 4,4R(x)?tgx?L2(x)?Mf???(?)1(x?xi)(x?x1)(x?xi?1)?3h3,x?[xi,xi?1]i?3!61232tg???x?16，欲使R(x)?tgx?L2(x)?其中M3?max??x??4,4??161h3?10?4，应使：
6123?4．对tgx在??中用等距分段Hermite 3次插值，其余项是什么？ 4,4??h?0.0920289? ?解：若对tgx在??中用等距分段Hermite 3次插值，则在每个小区间?xi,xi?1?上，由第4,4??二章定理8知：
4!sinxsin3x(4)??24?上， 由于tg(x)?16，所以在???4,435cosxcosx11tg(4)(x)??16?24?80
121280801454tgx?H3(x)?max(x?xi)2(x?xi?1)2??h?h
x?x?x4!ii?14!1624tgx?H3(x)?f(4)(?)(x?xi)2(x?xi?1)2,xi???xi?1
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?注意右端与i无关，故在??上，有：tgx?H3(x)?4,4??x5．对函数sin，在区间?0,1?上用等距线性插值、等距Hermite 3次插值、等距样条插值，问x54h。 24步长h应取多少才能保证各自的截断误差小于10？ 1sinxsintx解：因为f(x)?，所以 ??costxdt?0xx0111dksinxk???(k)kf(x)?tdt?，因此。 f(x)?k??tkcos?tx?dt??00k?12?dxx?（1） 若在区间?0,1?上用等距线性插值，则误差为：
M12f(x)?L(x)?2h2?h,对任x?[0,1]
824?41(k)欲使f(x)?L(x)?10?4，只须h?24?10?4?0.048988979?。
（2） 若在区间?0,1?上用等距Hermite 3次插值，则误差为：
f(4)(?)1h422f(x)?H3(x)?(x?xi)(x?xi?1)??,对任x?[0,1]
4!4!?516欲使f(x)?H3(x)?10，只须h?(4!?5?16?10)?0.66195? （3） 若在区间?0,1?上用等距样条插值，则由定理5，有：
?4?414f(x)?s(x)??414hf16(4)(x)?4?14?114??h 165欲使f(x)?s(x)?10，只须h?(5?16?10)?0.299069756?。 6. 对sinx/x, 在[0，1]上取5个节点，求D13次样条。 解 因f?(x)?差商表
xcosx?sinx?sinx?，所以：f(0)?x22, 先作?0，f?(1)?-0.30117x?00
0 0.25 0.5 0.75 1 1 2 0.5 0 0 0
1 1
0.989616 0.958851 0.908852 0.841471 0.841471
1 2 0.5 0 0
0
-0.04154 -0.12306
-0.2 -0.26952 -0.30117
0 0.5 2 0.5 0
-0.16615 -0.16304 -0.15388 -0.13905 -0.12658 0 0 0.5 2 1
0 0 0 0.5 2
-0.99688 -0.97827 -0.92326 -0.8343 -0.7595
从而形成三弯距方程组的增广矩阵：
解得：M1=-0.33438，M2=-0.32813，M3=-0.30966，M4=-0.27977，M5=-0.23987。样条曲线为：
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