内容发布更新时间 : 2024/5/18 10:40:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

20．（12分）为丰富市民的文化生活，市政府计划在一块半径为100m的扇形土地OAB上建造市民广场．规划设计如图：矩形EFGH（其中E，F在圆弧AB上，G，H在弦AB上）区域为运动休闲区，△OAB区域为文化展示区，其余空地为绿化区域，已知P为圆弧AB中点，OP交AB于M，cos∠POB=矩形EFGH区域的面积为Sm2．

（1）设∠POF=θ（rad），将S表示成θ的函数； （2）求矩形EFGH区域的面积S的最大值．

，记

【解答】解：（1）由题意可知：OF=OB=100，OM=OBcos∠POB=100×故矩形EFGH中，EF=2OFsin∠POF=200sinθ， FG=OFcos∠POF﹣OM=100cosθ﹣35，

故S=EF?FG=200sinθ?（100cosθ﹣35）=1000sinθ（20cosθ﹣7）， 即所求的函数关系式是S=1000sinθ（20cosθ﹣7），（0＜θ＜∠POB）；

=35，

（2）f′（θ）=1000cosθ（20cosθ﹣7）+1000sinθ（﹣20sinθ）=1000（40cos2θ﹣7cosθ﹣20），

由f′（θ）=0，即40cos2θ﹣7cosθ﹣20=0，解得cosθ=或cosθ=﹣， 因为0＜θ＜∠POB，所以cosθ＞cos∠POB，所以cosθ=， 设cosθ0=，且0＜θ0＜∠POB，

则当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）＞0，f（θ）是增函数， 当θ∈（θ0，+∞）时，f′（θ）＜0，f（θ）是减函数，

所以当θ=θ0时，即cosθ=，f（θ）取得最大值，此时S有最大值为5400m3， 即矩形EFGH区域的面积S的最大值5400m3． 21．（12分）已知函数（1）讨论f（x）的单调性；

．

第16页（共18页）

（2）求函数

【解答】解：（1）f′（x）=（x+1）（ex+a）， a≥0时，x∈（﹣∞，﹣1）时，f′（x）＜0， x∈（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0，

的零点个数．

故f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增， a＜0时，由f′（x）=0，解得：x=﹣1或x=ln（﹣a）， 若a=﹣，则ln（﹣a）=﹣1，f′（x）≥0恒成立， 故f（x）在R递增，

若﹣＜a＜0，则ln（﹣a）＜﹣1，

故x∈（﹣∞，ln（﹣a））∪（﹣1，+∞）时，f′（x）＞0， 当x∈（ln（﹣a），﹣1）时，f′（x）＜0，

故f（x）在（ln（﹣a），﹣1）递减，在（﹣∞，ln（﹣a）），（﹣1，+∞）递增； 若a＜﹣，则ln（﹣a）＞﹣1，

当x∈（﹣∞，﹣1）∪（ln（﹣a），+∞）时，f′（x）＞0， 当x∈（﹣1，ln（﹣a）时，f′（x）＜0，

故f（x）在（﹣1，ln（﹣a））递减，在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣a），+∞）递增， 综上，当a≥0时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减，在（﹣1，+∞）递增， 当﹣＜a＜0时，f（x）在（ln（﹣a），﹣1）递减，在（﹣∞，ln（﹣a）），（﹣1，+∞）递增，

当a=﹣时，f（x）在R递增，

当a＜﹣时，f（x）在（﹣1，ln（﹣a））递减，在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣a），+∞）递增；

（2）由已知得F（x）=，

令g（x）=xex﹣a（x＞0），g′（x）=（x+1）ex＞0， 故g（x）在（0，+∞）递增，

第17页（共18页）

则g（x）＞g（0）=﹣a，

故a＜0或a=e时，F（x）在y轴两侧各有1个零点，共2个零点， 当a=0时，a（x+1）恒为0，F（x）有无数个零点． 22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣2|． （1）当a=﹣3时，求不等式f（x）＜2的解集；

（2）若x∈[1，2]时不等式f（x）＜2成立，求实数a的取值范围． 【解答】解：（1）函数f（x）=|x﹣a|﹣|x﹣2|，

当a=﹣3时，f（x）=|x+3|﹣|x﹣2|=；

则x≤﹣3时，不等式f（x）＜2化为﹣5＜2，∴x≤﹣3； ﹣3＜x＜2时，不等式f（x）＜2化为2x+1＜2，∴﹣3＜x＜； x≥2时，不等式f（x）＜2化为5＜2，∴x∈?； 综上，不等式的解集为{x|x＜}；

（2）x∈[1，2]时不等式f（x）＜2成立， 即|x﹣a|﹣|x﹣2|＜2成立， 等价于|x﹣a|＜2+|x﹣2|成立； ∴|x﹣a|＜4﹣x， ∴x﹣4＜x﹣a＜4﹣x， 即2x﹣4＜a＜4；

又y=2x﹣4在[1，2]上的最小值为﹣2， ∴实数a的取值范围是﹣2＜a＜4．

第18页（共18页）