内容发布更新时间 : 2025/1/4 3:15:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第15讲 函数与方程
题型1 函数零点个数的判断 (对应学生用书第50页)
■核心知识储备………………………………………………………………………· 1．零点存在性定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根． 2．函数的零点与方程根的关系
函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的根，即函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标．
■典题试解寻法………………………………………………………………………· 【典题1】 (考查数形结合法判断函数的零点个数)已知定义在R上的函数f(x)满足：①图象关于(1,0)点对称；②f(－1＋x)＝f(－1－x)；③当x∈[－1,1]时，1－x2，x∈[－1，0]，?|x|
?1??f(x)＝?π则函数y＝f(x)－?2?在区间[－3,3]上的零点个
??cos2x，x∈?0，1]，??数为( ) A．5 C．7
B．6 D．8
|x|
等价转化?1?[思路分析] 函数y＝f(x)－?2?在区间[－3,3]上的零点个数――――→函数
??|x|
数形结合?1?y＝f(x)与函数y＝?2?在[－3,3]上的图象交点个数―――――→下结论．
??
1
[解析] 因为f(－1＋x)＝f(－1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称，又函数f(x)的图象?1?关于点(1,0)对称，如图，画出f(x)以及g(x)＝?2???
|x|
在[－3,3]上的图象．由图可知，两函数图象的交?1?点个数为5，所以函数y＝f(x)－?2?在区间[－3,3]
??上的零点个数为5，故选A. [答案] A
【典题2】 (考查应用零点存在性定理判断函数的零点个数)已知函数fn(x)＝xln xx2
－n(n∈N*，e＝2.718 28…为自然对数的底数)． (1)求曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程； (2)讨论函数fn(x)的零点个数.
【导学号：07804105】
[解] (1)因为f1(x)＝xln x－x2， 所以f1′(x)＝ln x＋1－2x， 所以f1′(1)＝1－2＝－1.
又f1(1)＝－1，所以曲线y＝f1(x)在点(1，f1(1))处的切线方程为y＋1＝－(x－1)，即y＝－x.
x2
(2)令fn(x)＝0，得xln x－n＝0(n∈N*，x>0)， 所以nln x－x＝0.
令g(x)＝nln x－x，则函数fn(x)的零点与函数g(x)＝nln x－x的零点相同． n－xn
因为g′(x)＝x－1＝x，令g′(x)＝0，得x＝n， 所以当x>n时，g′(x)<0；当0
所以函数g(x)在区间(0，n]上单调递增，在区间[n，＋∞)上单调递减． 所以函数g(x)在x＝n处有最大值，且g(n)＝nln n－n.
①当n＝1时，g(1)＝ln 1－1＝－1<0，所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为0；
②当n＝2时，g(2)＝2ln 2－2<2ln e－2＝0，所以函数g(x)＝nln x－x的零
2
|x|
点个数为0；
③当n≥3时，g(n)＝nln n－n＝n(ln n－1)≥n(ln 3－1)>n(ln e－1)＝0， 因为
g(e2n)＝nln e2n－e2n<2n2－4n＝2n2－(1＋3)n<2n2－
n?n－1???
?1＋3n＋?<2n2－[1＋3n＋3n(n－1)]＝－n2－1<0，且g(1)<0， ×9
2??所以由函数零点的存在性定理，可得函数g(x)＝nln x－x在区间(1，n)和(n，＋∞)内都恰有一个零点．所以函数g(x)＝nln x－x的零点个数为2. 综上所述，当n＝1或n＝2时，函数fn(x)的零点个数为0；当n≥3且n∈N*时，函数fn(x)的零点个数为2. [类题通法]
1.求函数零点个数的两种方法：
?1?由函数零点存在性定理，结合函数的单调性判断； ?2?由函数的单调性及函数极值的正负来确定.
2.零点个数的讨论,对于不可求的零点，需要通过方程转化为初等函数的交点个数判断.
3.零点讨论中的参数,针对参数的讨论有两个方向：一是方程根的个数；二是参数对构造的初等函数图象形状的影响.
■对点即时训练………………………………………………………………………· ?2＋2?，x≤121．已知函数f(x)＝???|log2?x－1?|，x>1
数是( ) A．4 C．6
B．5 D．7
x
3
，则函数F(x)＝f[f(x)]－2f(x)－2的零点个
3
A [(数形结合思想)令f(x)＝t，则函数F(x)可化为y＝f(t)－2t－2，则函数33
F(x)的零点问题可转化为方程f(t)－2t－2＝0有根的问题．令y＝f(t)－2t－23