内容发布更新时间 : 2024/5/13 10:46:25星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

课时作业57 定点、定值、探究性问题

第一次作业 基础巩固练

1．已知动圆P经过点N(1,0)，并且与圆M：(x＋1)2＋y2＝16相切．

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)设G(m,0)为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A，B两点，当k为何值时，ω＝|GA|2＋|GB|2是与m无关的定值？并求出该定值．

解：(1)由题意得|PM|＋|PN|＝4，

∴点P的轨迹C是以M，N为焦点的椭圆， ∴2a＝4,2c＝2，∴b＝a2－c2＝3，

x2y2

∴椭圆的方程为4＋3＝1.

x2y2

即点P的轨迹C的方程为4＋3＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知－2

??y＝k?x－m?，由?x2y2

??4＋3＝1，

8mk2

得(3＋4k2)x2－8k2mx＋4k2m2－12＝0，

4m2k2－12∴x1＋x2＝2，x1x2＝， 2

4k＋34k＋3

6mk

∴y1＋y2＝k(x1－m)＋k(x2－m)＝k(x1＋x2)－2km＝－2，

4k＋3

3k2?m2－4?

y1y2＝k2(x1－m)(x2－m)＝k2x1x2－k2m(x1＋x2)＋k2m2＝， 2

4k＋3

22

∴|GA|2＋|GB|2＝(x1－m)2＋y1＋(x2－m)2＋y2＝(x1＋x2)2－2x1x2－

2m(x1＋x2)＋2m2＋(y1＋y2)2－2y1y2＝(k2＋－6m2?4k2－3?＋24?3＋4k2?1). 22

?4k＋3?

要使ω＝|GA|2＋|GB|2的值与m无关，需使4k2－3＝0，解得k＝3

±2，此时ω＝|GA|2＋|GB|2＝7.

p

2．如图，设直线l：y＝k(x＋2)与抛物线C：y2＝2px(p>0，p为1

常数)交于不同的两点M，N，且当k＝2时，弦MN的长为415.

(1)求抛物线C的标准方程；

(2)过点M的直线交抛物线于另一点Q，且直线MQ过点B(1，－1)，求证：直线NQ过定点．

11p

解：(1)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，当k＝2时，直线l：y＝2(x＋2)，p?x＝2y－?p2，

即x＝2y－2，联立方程，得?

??y2＝2px，＝4p，y1y2＝p2，于是得|MN|＝

即y2－4py＋p2＝0.∴y1＋y2

1＋4|y1－y2|＝5×?y1＋y2?2－4y1y2

＝215|p|＝415，因为p>0，所以p＝2，即抛物线C的标准方程为y2＝4x.

2

(2)证明：设点M(4t2,4t)，N(4t21，4t1)，Q(4t2，4t2)，

易得直线MN，MQ，NQ的斜率均存在，则直线MN的斜率是kMN

＝4t－4t14t

2

－4t21

＝，

t＋t1

1

1

从而直线MN的方程是y＝(x－4t2)＋4t，即x－(t＋t1)y＋4tt1

t＋t1

＝0.

同理可知MQ的方程是x－(t＋t2)y＋4tt2＝0，NQ的方程是x－(t1

＋t2)y＋4t1t2＝0.

1又易知点(－1,0)在直线MN上，从而有4tt1＝1，即t＝4t，点B(1，

1

－1)在直线MQ上，从而有1－(t＋t2)×(－1)＋4tt2＝0，

11

即1－(4t＋t2)×(－1)＋4×4t×t2＝0，

11化简得4t1t2＝－4(t1＋t2)－1.

代入NQ的方程得x－(t1＋t2)y－4(t1＋t2)－1＝0. 所以直线NQ过定点(1，－4)．