内容发布更新时间 : 2024/5/2 8:18:43星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
考查角度2 三种常用的数列求和方法
分类透析一 分组转化法求和
例1 已知等差数列{an}满足a2=2,a1+a4=5. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足b1=3,b2=6,{bn-an}为等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.
分析 (1)利用已知条件求出等差数列{an}的通项公式;(2)因为{bn-an}为等比数列,所以数列{bn}的前n项和Tn可以看成数列{bn-an}的前n项和与数列{an}的前n项和的总和.
解析 (1)设等差数列{an}的公差为d, ∵等差数列{an}满足a2=2,a1+a4=5,
∴ 解得a1=d=1,
∴an=1+(n-1)×1=n.
(2)设等比数列{bn-an}的公比为q,∵b1=3,b2=6, ∴b1-a1=3-1=2,b2-a2=6-2=4, ∴q=2.
∴bn-an=2×2n-1=2n, ∴bn=n+2n,
∴数列{bn}的前n项和Tn=(1+2+3+…+n)+(2+2+…+2)=2
n -
+ -
=
+2n+1-2.
方法技巧 从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比数列的和或差的形式,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和.
分类透析二 错位相减法求和
例2 已知{an}的前n项和Sn=4n-n2+4. (1)求数列{an}的通项公式;
(2)求数列
-
的前n项和Tn.
分析 (1)由{an}的前n项和求出数列{an}的通项公式;(2)利用错位相减法求和即可(当n=1时要单独考虑).
解析 (1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-n2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n; 当n=1时,a1=S1=7.
∴an=
-
(2)令bn=
-
,
当n=1时,T1=b1=当n≥2时,bn=
-
-
=0;
-
=,
-
∴Tn=0+ + + +…+
+ -
,
Tn= + + +…+
+, -
两式相减得Tn=1++ +…+-= -
- -
- =2- ,
∴Tn=4-
-
(n≥2 .
当n=1时,满足上式. 综上所述,Tn=4- -
.
方法技巧 用错位相减法求和时,应注意:
(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;
(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
分类透析三 an= 型的裂项相消法求和
例3 已知数列{an}为单调递增数列,Sn为其前n项和,2Sn= +n.
(1)求{an}的通项公式. (2)若bn=
,Tn为数列{bn}的前n项和,证明:Tn<.
分析 (1)由递推公式2Sn= +n求出{an}的通项公式;(2)先用裂
项相消法求和,再进行适当放缩证明.
解析 (1)当n=1时,2S1=2a1= +1,即(a1-1)2=0,解得a1=1.
又{an}为单调递增数列,所以an≥1.
由2Sn= +n得2Sn+1= +n+1, 所以2Sn+1-2Sn= - +1,
整理得2an+1= - +1,所以 =(an+1-1)2.
所以an=an+1-1,即an+1-an=1,
所以{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n.
(2)bn=所以
= = - ,
Tn= - + - +…+ - = - < .
方法技巧 (1)用裂项相消法求和时,抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项.
(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是等差数列,则
= -
,
= -
.
分类透析四 an=
型的裂项相消法求和
例4 已知数列{an}的首项为a1=1,且(an+1)an+1=an,n∈N*. (1)求证:数列 是等差数列.
(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn.
分析 (1)通过递推公式(an+1)an+1=an证明数列 是等差数列;(2)
将bn= 裂项,再求和.
解析 (1)由an+1=以=1.
,得
=
= +1,则
- =1,又a1=1,所
所以数列 是以1为首项,1为公差的等差数列.
(2)由(1)可知,=n,故an=.
又bn= = = - = - , 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn
= - + - + - +…+
- =1- .
方法技巧 本题主要考查等差数列的定义与通项公式,以及裂项
相消法求数列的和,属于中档难度题.常见的裂项技巧:
(1)
= - ;