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东北大学秦皇岛分校

数学软件认识实习报告

设计题目

用matlab求解Appolo卫星运动轨迹

学 院 专 业 学 号 姓 名 指导教师 成 绩

数学与统计学院 信息与计算科 学

姜玉山 张尚国

教师评语：

指导教师签字：

2014年01月06日

数学与统计学院认识实习报告 第 1 页

1 绪 论

1.1 课题的背景

常微分方程数值求解Euler法和刚性方程组问题；；(一)用求职问题求解，用Eluer节点处用差商近似代替导数；（二）刚性方程组可以解决y（2）下降很快，而y（1）下降很慢也能保持数值的的稳定性。（三）实际应用问题通过数学建模所归纳而得到的方程，绝大多数都是微分方程，真正能得到代数方程的机会很少．另一方面，能够求解的微分方程也是十分有限的，特别是高阶方程和偏微分方程（组）．这就要求我们必须研究微分方程（组）的解法，既要研究微分方程（组）的解析解法（精确解），更要研究微分方程（组）的数值解法（近似解）．建模实验研究卫星发射系统的改进和卫星发射满足的常微分方程的建模和求解;然而的用计算机解决科学计算问题首先要建立数学模型，它是被描述的实际问题进行抽象、简化而得到的，因而是近似的。我们把数学模型与实际问题之间出现的这种误差称为模型误差。卫星对精确度要求比较高matlab控制运算精度用的是digits和vpa这两个函数。

常微分知识必备

摘要

许多现实问题都可以通过微分方程的形式进行表示，传统解微分方程的方法有近似分析解法、表解法和图解法，这些方法需对其进行大量的假设，而使得数学模型有一定的失真，有一定的局限性。数值解法利用计算机，使得求解更精确、效率更高，而MATLAB是一种数学软件包，有高级编程格式，使得计算结果更具有可信性，因此微分方程的求解及MATLAB在其中的应用具有实际意义。本文对常微分方程数值解问题作进一步探讨，并应用MATLAB对其中难解的改进Euler法和Runge-Kutta法进行编程实现，程序简洁、直观，求解速度快、方法实用性较强。

（1）概念

微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如：

dy一阶：?2x

dxd2s二阶：2??0.4

dt三阶：x3y????x2y???4xy??3x2

四阶：y?4??4y????10y???12y??5y?sin2x 一般n阶微分方程的形式：Fx,y,y?,

?,y?n??0。这里的y?n?是必须出现。

? （2）微分方程的解

数学与统计学院认识实习报告 第 2 页

y???x?设函数在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，

?n??n?F?x,??x?,??x????x???0?Fx,y,y,,y?0y??x?????? 则称为微分方程的解。

注：一个函数有n阶连续导数→该函数的n阶导函数也是连续的。

??函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。 导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。

导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。

limf?x??f?x0?y?f?x?x0x?x0函数连续定义：设函数在点的某一邻域内有定义，如果则称

fxx函数??在点0连续。

?limf?x??f?x0??f?x0??x?x0左连续： 左极限存在且等于该点的函数值。

?limf?x??f?x0??f?x0??x?x0右连续： 右极限存在且等于该点的函数值。

在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。

limf?x??limf?x??limf?x??f?x0???x0x?xx?xx?x000函数在点连续?

fxx1、??在点0有定义

limf?x?x?x02、极限存在

limf?x??f?x0?x?x03、

（3）微分方程的通解

如果微分方程中含有任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫微分方程的通解。

注：任意常数是相互独立的：它们不能合并使得任意常数的个数减少。

补充：

设y1?x?,y2?x?,yn?x?是定义在区间I上的n个函数，若存在n个不全为零的常数（强调

,kn，使得当对?x?I时有恒等式：

存在性，找到一组常数即可）k1,k2,k1y1(x)?k(?)x2y2k1,k2,n个函数在区间I上线性相关。若当且仅当?nkx成立。则称这0?3y??,kn全等于零该等式才恒成立。则这n个函数在区间I上就线性无关。

例：函数1,sin2x,cos2x在整个数轴上线性相关。1?sin2x?cos2x?0恒成立。

函数1,x,x2在任何区间?a,b?→线性无关要使k1?k2x?k3x2?0恒成立，则k1?k2?k3?0 否则：若k1,k2,k3不同时等于零，则k1?k2x?k3x2?0最多只有两个x的值能是该式恒成立。对x不具有普遍性。 对两个函数y1?x?,y2?x?而言：

y1?x?→线性相关 ?c(常数）y2?x?y1?x????x?(函数）yx 2??→线性无关 定解条件（初始条件）：微分方程的通解中含有任意常数，实际情况→提出确定这些常数