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热点探究课（一）导数应用中的高考热点问题

（对应学生用书笫36页）

［命题解读］函数是中学数学的核心内容，导数是研究函数的重要工具，因此，导数的应用 是历年高考的重点与热点，常涉及的问题有：讨论函数的单调性（求函数的单调区间）、求极 值、求最值、求切线方程、求函数的零点或方程的根、求参数的范闱、证明不等式等，涉及 的数学思想有：函数与方程、分类讨论、数形结合、转化与化归思想等，中、高档难度均有.

热点1利用导数研究函数的单调性、极值与最值（答题模板）

函数的单调性、极值是局部概念，函数的最值是整体概念，研究函数的性质必须在定义 域内进行，因此，务必遵循定义域优先的原则，本热点主要有三种考查方式：（1）讨论函数 的单调性或求单调区间；⑵求函数的极值或最值；⑶利用函数的单调性、极值、最值，求 参数的范围.

?例11 （本小题满分12分）（2015 ?全国卷II）已知函数f\\x） =ln

.

（1）讨论fd）的单调性：

（2）当fd）有最大值，且最大值大于2a—2时，求曰的取值范围.

［思路点拨］（1）求出导数后对臼分类讨论，然后判断单调性；（2）运用（1）的结论分析函 数的最大值，对得到的不等式进行等价转化，通过构造函数并分析该函数的单调性求 的范围.

［规范解答］⑴曲的定义域为（o, +切，r

若臼W0,则尸（方〉0,所以fd）在（0, +＜-）上是增加的. 若臼〉0,则当炸（0,

3分

当

时，F 3＞0；

时，F （^）＜0.

5分 6分 7分

所以厂匕）在（0, 上是增加的，在（￡, +8）上是减少的.

（2）由（1）知，当&W0时，厂（方在（0, +8）上无最大值；

当臼＞0时，fd）在丄取得最大值，最大值为

n 臼

+&—!_?

因此

彳|）＞2臼一2等价于In a+s-KO.

令g@）=ln卄辺一1,则呂（臼）在（0, +8）上是增加的,g⑴=0. 于是,当0〈刀＜1时,血）＜0；当Q1时，g（a） ＞0.

9分 10分

12分

因此,自的取值范围是（0, 1）.

［答题模板］讨论含参函数代劝的单调性的一般步骤 第一步：求函数f\\x)的定义域(根据已知函数解析式确定). 第二步：求函数fd)的导数尸(%).

笫三步：根据r(%)= 0的零点是否存在或零点的大小对参数分类讨论. 第四步：求解(令尸(方>0或令f (%)<0). 第五步：下结论.

第六步：反思冋顾，查看关键点、易错点、注意解题规范.

温馨提示：1.讨论函数的单调性，求函数的单调区间、极值问题，最终归结到判断尸(%) 的符号问题上，而f W>0或f w<0,最终可转化为一个一元一次不等式或一元二 次不等式问题.

f2.若己知f(x)的单调性，则转化为不等式尸(方事0或尸(x)W 0在单调区间上恒成立 问题求解.

已知函数=x+ax—x+c, ［对点训练1］

且心(|)

(1)求白的值;

(2)求函数f(0的单调区间；

⑶设函数g{x) = (/(^) —X)?(/,若函数g(0在 圧［ — 3, 2］上单调递增，求实数c的取 值

范围.

［解］⑴由 f(x) =x+ax—x+c, 得 f (x) = 3,+2ax~ 1.

f【导学号：00090072］

2

当/=§时，得a=ff

t

+ 2 臼x|-l

解得臼=一1.

(2)由⑴可知 f{x) =x—x—x+ c,

则尸(x) =3/-2^-1 =3^+|j(A— 1),列表如下:

X (-°°T + 1 ■ 1 3 0 极大值 (气1〕 (1, 1 0 极小值 + °°) — + f\\x)

' 1> 和(1, +°°); ，__所以fd)的单调递增区间是( °°3； 心)的单调递减区间是(一右J

⑶函数 g(x) = (/'(%) —x) ? e= (—x—x+c) ? e\

x