内容发布更新时间 : 2024/4/27 15:47:20星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

17. 在x岁投保的一年期两全保险，在个体（x）死亡的保单年度末给付b元，生存保险金为e元。保险人给付额现值记为Z, 则Var(Z)=( )

22 A. pxqxv?b?e? B. pxqxv?b?e? 22 C. pxqxvb?e22?2? D. v?bq22x?e2px?

解：

P(Z?bv)?qx,P(Z?ev)?pxP(Z2?b2v2)?qx,P(Z2?e2v2)?pxE(Z)?bvqx?evpxE(Z2)?b2v2qx?e2v2pxVar(Z)?E(Z2)??E(Z)??b2v2qx?e2v2px??bvqx?evpx??v2qxpx(b?e)222

第五章：年金的精算现值

练 习 题

1． 设随机变量T＝T(x)的概率密度函数为f(t)?0.015?e精算现值 ax 。

?0.015t(t≥0)，利息强度为δ＝0.05 。试计算

ax????1?vt0?fT(t)dt??2??01?e?0.05t0.015?e?0.015tdt?15.38 0.05（1）?；（2）ā???50。试求：

x 2．设 ax?10, ax?7.375, VaraT 。

??1??a?Axx??1?10??Ax2??2??1?14.75??2Ax?1?2?ax?Ax??1212?VaraT?2(Ax?(Ax))?50?2(2Ax?(Ax)2)

???????0.035???Ax?0.65?2?Ax?0.48375??

3． 某人现年50岁，以10000元购买于51岁开始给付的终身生存年金，试求其每年所得年金额。

11

4． 某人现年23岁，约定于36年内每年年初缴付2 000元给某人寿保险公司，如中途死亡，即行停止，所缴付款额也不退还。而当此人活到60岁时，人寿保险公司便开始给付第一次年金，直至死亡为止。试求此人每次所获得的年金额。 解：2000a23:36?R37|a23?R?其中

2000a23:3637|a23

a23:36l23?k135k??vkp23??v??vl23?kl23l23k?0k?0k?0kk3535 ? ?37|1111(l23?l24?l?l26?25l231.06(1.06)2(1.06)3N23?N59D2337?1l58)(1.06)35a23?a23?a23:37?v3737p23a60?82k82kE23a60k?37

23?kl1 ??vkp23??v23?k?l23l23k?37k?37 ? ??vlk821111(l60?l60?l?l?262363l231.06(1.06)(1.06)N60D23?1l)55105(1.06)查生命表或者相应的换算表带入计算即可。

习题5将参考课本P87例5.4.1现年35岁的人购买如下生存年金，且均于每月初给付，每次给付1000元，设年利率i=6%，求下列年金的精算现值。

（1） 终身生存年金。

(12)1000*12a35?12000[?(12)a35??(12)]

其中

d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d(12)?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid12 12

l35?k171ka35??vkp35??v??vl23?kl35l23k?0k?0k?0kk7171 ? ?1111(l35?l36?l?l38?37l351.06(1.06)2(1.06)3N35D35?1l105)

(1.06)70若查90-93年生命表换算表则

a35?N351985692??15.695458 D35126513.8

5． 某人现年55岁，在人寿保险公司购有终身生存年金，每月末给付年金额250元，试在UDD假设和利率6%下，计算其精算现值。

(12)(12)解：250*12a55?250*12(a55?1)?250*12[?(12)a55??(12)?1] 1212其中

d?i?0.0566037741?i(12)12?i?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d(12)?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid12l35?k171ka55??vkp55??v??vl23?kl35l23k?0k?0k?0kk7171 ? ?

1111(l35?l36?l?l38?37l351.06(1.06)2(1.06)3N35D35?1l105)

(1.06)70

6． 在UDD假设下，试证： (1)

n|ax(m)??(m)n|ax???m?nEx 。

(2) ax:n??(m)ax:n???m?(1?nEx) 。

(m) （3）ax:n?ax:n?

(m)(m)1(1?nEx) 。 m13

7． 试求现年30岁每年领取年金额1200元的期末付终身生存年金的精算现值，且给付方法为：(1)按年；(2)按半年；(3)按季；(4)按月。

（1）解：1200aN3130?D 30（2）1000a(2)(2)30?1000(a30?12)?1000[?(2)a35??(2)?12]

其中

d?i1?i?0.056603774?2??1?i(2)?2???1?i?i(2)?0.059126028?d(2)2??1??(12)2???1?d?d?0.057428276

?(2)?idi(2)d(2)?1.000212217?(2)?i?i(2)i(2)d(2)?0.257390809aN3030?D 30

（3）1000a(4)(4)30?1000(a30?14)?1000[?(4)a30??(4)?14]

其中

d?i1?i?0.056603774?4??1?i(4)?4???1?i?i(4)?0.058695385?4??1?d(4)?4???1?d?d(4)?0.057846554

?(4)?idi(4)d(4)?1.000265271(4)?i?i(4)?i(4)d(4)?0.384238536a30?N30D 30（4）1000a(12)?1000(a(12)3030?112)?1000[?(12)a30??(12)?112] 其中

14

d?i?0.0566037741?i12?i(12)?(12)?1???1?i?i?0.05841060612???d?(12)?1???1?d?d?0.05812766712??idi?i(12)?(12)?(12)(12)?1.000281033,?(12)?(12)(12)?0.46811975idid(12)12

a30?N30 D30

8． 试证： (1) (2)

(m)ax?(m)ax?:n?i(m)ax ax:n 。

?i(m) (3) limaxm??(m)?ax 。 1 。 2 (4) ax?ax? 9． 很多年龄为23岁的人共同筹集基金，并约定在每年的年初生存者缴纳R元于此项基金，缴付到64岁为止。 到65岁时，生存者将基金均分，使所得金额可购买期初付终身生存年金，每年领取的金额为3 600元。试求数额R。

10． Y是x岁签单的每期期末支付1的生存年金的给付现值随机变量，已知 ax?10，

2ax?6，i?1 ，求Y的方差。 24 11． 某人将期末延期终身生存年金1万元遗留给其子，约定延期10年，其子现年30岁，求此年金的精算现值。

12． 某人现年35岁，购买一份即付定期年金，连续给付的年金分别为10元、8元、6元、4元、2元、4元、6元、8元、10元，试求其精算现值。 13.

(4)(4)是（ ） a??17.287，Ax?0.1025。已知在每一年龄年UDD假设成立， 则ax A. 15．48 B. 15.51 C. 15.75 D. 15.82

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