内容发布更新时间 : 2024/5/17 16:43:57星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第二种情形，以各自模型可观察的自变量样本为条件。对于实际所用模型，记

yi??0??1x1i?vi，有

Var???1|x1i,i?1,2其中?v?Var?vi|x1i,i?1,,n????v2SST1， （*）

,n?和SST1??i?1(x1i?x1)2。一般而言， vi中含有x2i,ui等因

n素，比ui包含了更多的未知不确定因素（如x2i）。设vi??2x2i?ui，因ui与x2i不相关，故

2?v2?Var(vi|x1i)??2Var(x2i|x1i)?Var(ui|x1i)2??2Var(x2i|x1i)??u22??u,

2其中用到：由真正关系模型假定E(ui|x1i,x2i)?0和Var(ui|x1i,x2i)??u导出

?的条件方差是 。而真正关系模型OLS估计量?Va(riu|1ix)??2u1?|x,x,i?1, Var(?11i2i,n)??u2SST1(1?R12), (**)

其中R12是x1i关于x2i回归的拟合优度。比较（*）和(**)可见，当R12很小使1?R12接近于1时，Var[?1|x1i,i?1,?|x,x,x,i?1,,n]比Var(?11i2i3i2?更有效。OLS估计量?当R,n)大，112大到使1?R12??u/?v2时，OLS估计量?1的条件方差会更大。

2． 对线性回归模型yi??0??1x1i??2x2i?证明以下等式均成立：

进行OLS估计，??kxki?ui（i?1,2,,n）

?ni?1n?iu?i?0 ynnnn?i2??i?1u?i2 ?i?1yi2??i?1y?i?y)2??i?1u?i2 ?i?1(yi?y)2??i?1(y?i为被解释变量yi的拟合值，u?i?yi?y?i为残差，y为{yi,i?1,2,其中y如果改为对不含截距项的回归模型yi??1x1i??2x2i?明上述性质是否仍成立。 解答：

11

n,n}的样本均值。

??kxki?ui进行OLS估计，试说

?,??,参数的OLS估计量?01minb0,b1,b2,从而它们满足一阶条件：

,bk?由最小化以下目标函数而定义： ,?k??yi?b0?b1x1i?b2x2i?i?1n?bkxki?，

2??y???ii?1n1iii?1n0?x???x???11i22i0?x?0??kki?x?0??kki??x?y???nkii?x???x???11i22i?

?x?y???i?10?x???x???11i22i?x?0??kki?即

??ui?1ni?i?0,?0,?x1iui?1n?i?0。 (A) ,?xkiui?1n????x???x??i??(1) 因拟合值y011i22in?x，应用性质（A），有 ??kki?x)u?i??kkin????k?i?1xkiui

n??yu??i?1ii?i?1(??0???1x1i?n??n????0?i?1ui??1?i?1x1iui??0.?i?u?i,应用(2) 由yi?y?ni?1?iu?i?0，有 y2n2n2nn2n?yi?1n2i?i?u?i???y?i??u?i?2?y?iu?i??y?i??u?i2. ???yi?1i?1i?1i?1i?1i?1n?i?u?i,应用(3) 由yi?yn??ui?1ni?. 再应用?，故yi?y???y?0有y?yi??y?iu?ni?1?i?0，有 ?iu?i?0和?uyi?1??yi?1ni?i?y??u?i????y?i?y???u?i?2??y?i?y?u?i?y?????y222i?1ni?1i?1ni?1n2nnn?i?y???u?i?2?y?iu?i?y?u?i???y2i?1ni?1ni?1i?12nn

?i?y???u?i2.???yi?1i?12?,(4) 如果改为对不含截距项的回归模型进行估计，则参数的OLS估计量?1小化以下目标函数而定义：

12

?由最,?kminb1,b2,

类似地，由一阶条件知

n,bk??y?bxi1i?1n1i?b2x2i??bkxki?。

2?x?y???x1iii?1nkii11i?x???22i?x?0??kki

??x?y???xi?111i?x???22i?x?0??kki?即

??xui?1n1ii?0,?i?0。 (B) ,?xkiui?1n?x知，?iu?i?0???i?1ykkin?x???x??i?u?i和y?i??同上（1）和（2），应用（B），由yi?y11i22i和

?i2??i?1u?i2仍成立。关于 ?i?1yi2??i?1ynnn?讨论如下：

222??(y?y)?(y?y)?u （C） ??iii?1i?1i?1innn1）当y?0时，（C）即为

?i2??i?1u?i2，故当然成立。 ?i?1yi2??i?1ynnn?。因为此时性质2）当y?0时，将（C）式展开可知，它成立当且仅当y?y?i?u?i知，y?y?一般也不成立，故（C）一般不成立。 一般不成立，由yi?y

??ui?1ni?03. 考虑如下二元线性回归模型y??0??1x1??2x2?u,其中x1系数?1的OLS估计可以通过如下两步骤获得：

????x，得残差为r； ?1??第一步：x1对x2OLS回归，xx12012?0???1rx12， ???第二步：y对rx12OLS回归，y?。??1为?1的OLS估计?即斜率系数估计? 1证明?1的OLS估计?1也可以经由如下三步骤获得：

????x，得残差为r； ?1??第1步：x1对x2OLS回归，xx12012?0???1x2，得残差为ryx2； ???第2步：y对x2OLS回归，y13

????r， ?yx2??第3步：ryx2对rx12OLS回归，r01x12?为?的OLS估计??。 即最后一步得到的斜率系数估计?111??解答：由第一种方法有?1?yr?riix122ix12，而由第二种方法有

riyx2rix12??yi?(??0???1x2)?rix12???1??2r?ix12?rix212yr???riix122ix12??r???r0ix122ix12?1???xi2rix12?rix212yr???r

iix122ix12,????。 故?11

4. 考虑如下回归模型：

模型A：yi??0??1xi1??2xi2?ui1 模型B：yi?xi1??0??1xi1??2xi2?ui2

1） 请给出模型A与模型B的OLS估计系数的关系，并证明

??????????2,??0。 ?1?1,??2012） 模型A与模型B的残差相等吗？为什么？ 3） 请问模型A和模型B的R可以比较吗？为什么？

2?i2为xi2对xi1OLS回?i1为xi1对xi2OLS回归的残差，x?i1为相应的拟合值，记r解答：1）记r?i1?yir?i1?xi1r?i1yi?xi1?r???归的残差。先考虑x1的系数。估计模型（B）有?1???. 222???rrr?i1?i1?i1由OLS估计量代数性质，有

?x??ri1i1?0，则

?x?i1?i1r???x??r??r???r，故

2i1i1i1i1?i1yir???1??1??1。估计模型（A）有?2??ri1?yr??r?ii12i1????1?1。 。所以，?1同理，对于x2的系数，由模型（B）的估计，有

????2?i2?yir?i2?xi1r?i2?yir?i2?yi?xi1?r， ????r?2i2?r?2i2?r?2i2?r?2i214

其中

???是由于OLS回归的代数性质；由模型（B）的估计，有xr?0???i1i22?i2yir，故 2?r?i2????2。 ?2最后，考虑截距项。由模型（B）的估计，有

???y?x????x???x?y????1x???x?y???1x1???2x2； ?0111221122??????0?y???1x1???2x2，故??0。 由模型（A）的估计，有?0?x???x?y????1x???x?y???1xi1???2xi2?u?i2??yi?xi1????i1 2）u1i12i2i1i12i2i3）不可比较，因为两个模型的因变量不相同。

2RA?1?????ui2i12??y?y?2?1?,RB??uii12i221???y?x???y?x???1???uii12i121???y?x???y?x??.

22因变量不同，RA和RB分别是模型（A）和（B）解释变量对y和y?x1样本变差的解释比例。

5. 某研究者认为员工的对数工资水平（Li）依赖于技术水平（Si）和性别（Fi），建立以下多元回归模型：

Li??1??2Si??3Fi?ui （1） 假定该模型满足MLR.1-MLR.3，Fi与扰动项ui不相关，但是技术水平Si与扰动项ui相关。尽管零条件均值假定EuiFi,Si?0不成立，但该研究者认为条件均值独立性假定成立，即EuiFi,Si?EuiSi，进一步假定EuiSi关于Si是线性的，即EuiSi=?0+?1Si。定义?i为ui和给定Fi,Si时ui条件均值的差，即?i?ui?EuiFi,Si。请证明： 1)

?????????????i的条件期望E??iFi,Si?等于0；

2) 对（1）进行OLS估计，仍然可以得到?3的无偏估计。 证明：

1) E?iFi,Si?E??ui?EuiFi,SiFi,Si???EuiFi,Si?EuiFi,Si?0 2)

????????15