内容发布更新时间 : 2024/6/27 0:28:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

三角函数及其图像性质精讲精练（2）

【知识点回顾】

【考向一】三角函数的定义域 【例1】函数y?1?2cosx?lg(2sinx?3)的定义域是_____。 π?

【精练1】．函数y＝tan??4－x?的定义域为( )

????????????ππππ???????? x≠kπ－，k∈Zx≠2kπ－，k∈Zx≠kπ＋，k∈Zx≠2kπ＋，k∈ZA.x?B.xC.x D.x?4444??????????

πππ

【解析】 ∵－x≠＋kπ，∴x≠－－kπ，又∵k∈Z，∴A正确．

424【答案】 A

【考向二】三角函数的单调性 【思路点拨】 y＝Asin(ωx＋φ)＋B解析式的确定与性质的研究

借助图象或文字叙述，先求A、ω、φ、B的值后，再依据解析式研究三角函数的单调性、值域、最值及周期性、奇偶性等性质是高考的常见题型．

【例1】（2012湖南文18）已知函数

???f?x??Asin??x????x?R,??0,0????的部分图像如图5所示。

2??（Ⅰ）求函数f?x?的解析式； （Ⅱ）求函数g?x??f?x?

π

－2x?x∈[0，π]为增函数的区间为( ) 【精练1】3．(2013·佛山模拟)函数y＝2sin??6?

ππ7π55

0，? B.?，π? C.?，π? D.?π，π? A.??3??1212??36??6?

πππ3π5

2x－?，由＋2kπ≤2x－≤π＋2kπ，k∈Z得＋kπ≤x≤π＋kπ，k∈Z，即函【解析】 因为y＝－2sin?6??26236π5π5

＋kπ，π＋kπ?k∈Z，当k＝0时增区间为?，π?.故选C. 数在R上的增区间为?6?3??36?【答案】 C

【精练1】（2012全国新课标9）已知??0，函数f(x)?sin(?x?取值范围是（ ）

?????f?x??的单调递增区间。 12?12???????)在(,?)上单调递减。则?的

42?第1页

15131(A)[,] (B) [,] (C) (0,] (D)(0,2 ]22424【精练2】（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）） 已知函数f(x)?4cos?x?sin??x??????(??0)的最小正周期为?. 4?(Ⅰ)求?的值; (Ⅱ)讨论f(x)在区间0,2上的单调性. 【考向三】三角函数的值域或最值（二次型需关注） ππ

x－?，在x∈?0，?上的值域为________． 【例1】函数y＝cos??3??3?πππ

【解析】 由0≤x≤，∴－≤x－≤0，

333π

－，0?上单调递增， 而函数在??3?ππ

－?≤cos?x－?≤cos 0， 即cos??3??3?π1

x－?≤1. 故≤cos??3?21?

【答案】 ??2，1?

ππ

0，?，函数的最大值为1，最小值为－5，求【例2】(文)已知函数f(x)＝2asin(2x－)＋b的定义域为??2?3a和b的值．

πππ2

【解】 ∵0≤x≤，∴－≤2x－≤π，

2333∴－

3π

≤sin(2x－)≤1， 23

???a＝12－63，?2a＋b＝1，若a＞0，则?解得?

－3a＋b＝－5，??b＝－23＋123；?a＝－12＋63，?2a＋b＝－5，

若a＜0，则?解得?

?－3a＋b＝1，?b＝19－123.

综上可知，a＝12－63，b＝－23＋123或a＝－12＋63，b＝19－123. π

x＋?的值域为________． 【试一试】(2012·湖南高考)函数f(x)＝sinx－cos??6?π

x＋? 【解析】 f(x)＝sinx－cos??6?＝sin x－

π31

x－?， cos x＋sin x＝3sin??6?22

π

x－?∈[－1,1]，∴f(x)值域为[－3，3]． ∵sin??6?第2页

【答案】 [－3，3]

π

|x|≤?的最大值与最小值． 【试一试】求函数y＝cos2x＋sin x??4?

1b. 【精练1】（文）已知向量a?(cosx,?),b?(3sinx,cos2x),x?R, 设函数f(x)?a·2(Ⅰ) 求f (x)的最小正周期.

???(Ⅱ) 求f (x) 在?0,?上的最大值和最小值.

?2?【精练2】（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学试题（含答案））已知函数.

???2f(x)??2sin?2x???6sinxcosx?2cosx?1,x?R4??

(Ⅰ) 求f(x)的最小正周期;

???(Ⅱ) 求f(x)在区间?0,?上的最大值和最小值.

?2?ππ

2x＋? ＋sin?2x－?＋2cos2x－1，x∈R. 【比较】(2012·天津高考)已知函数f(x)＝sin?3?3???

(1)求函数f(x)的最小正周期；

ππ

－，?上的最大值和最小值． (2)求函数f(x)在区间??44?

【精练3】设向量a?????3sinx,sinx,b??cosx,sinx?,x??0,?.

?2??(I)若a?b.求x的值； (II)设函数f?x??ab,求f?x?的最大值.

【精练4】（2012山东卷）已知向量m??sinx,1?，n??3Acosx,??A?cos2x??A?0?，函数2?f?x??m?n的最大值为6.（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）将函数y?f?x?的图象像左平移

?1个单位，再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的倍，122纵坐标不变，得到函数y?g?x?的图象。求g?x?g（x）在?0,

?5??上的值域。 ??24?【精练5】已知向量a?(cos?x?sin?x，sin?x)，b?(?cos?x?sin?x，23cos?x)，设函数

1（,1） f?x??a?b???x?R?的图像关于直线x??对称，其中?，?为常数，且??2（1） 求函数f(x)的最小正周期；

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（,0）（2） 若f(x)的图像经过点求函数f(x)在区间?0，?上的取值范围。 45【精练6】（2013年高考湖南卷（理））已知函数f(x)?sin(x???3??????x)?cos(x?).g(x)?2sin2. 632(I)若?是第一象限角,且f(?)?33.求g(?)的值; 5(II)求使f(x)?g(x)成立的x的取值集合.

【考向四】三角函数的奇偶性和周期性（求解析式要四看、振幅、周期描述-对称中心、高点相邻距离、初相、平衡位置）

π

x－?－1是( ) 【例1】函数y＝2cos2??4?A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 ππ

C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数

22

π

ω>0，|φ|

【归纳提升】 1.求解三角函数的奇偶性和周期性时，一般先要进行三角恒等变换，把三角函数式化为一个角的一种三角函数，再根据函数奇偶性的概念、三角函数奇偶性规律、三角函数的周期公式求解．

π

【例3】（2013·西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，x∈R(其中A＞0，ω＞0,0＜φ＜)的图象与x轴

22ππ

，－2?. 的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上的一个最低点为M?3??2

(1)求f(x)的解析式；

ππ?(2)当x∈??12，2?时，求f(x)的值域．

【精练1】 ．（2013年高考四川卷（理））函数f(x)?2sin(?x??),(??0,??2????2)的部分图象

如图所示,则?,?的值分别是( )

(A)2,??3 (B)2,??6 (C)4,??6 (D)4,?3

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【答案】A

【精练2】（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD版含附加题））

函数y?3sin(2x?【答案】?

?4)的最小正周期为___________.

【精练3】（2013年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD版含答案（已校对））已知函数

f?x?=cosxsin2x,下列结论中错误的是

(A)y?f?x?的图像关于??,0?中心对称 (B)y?f?x?的图像关于直线x?(C)f?x?的最大值为【答案】C

【精练4】（2013年上海市春季高考数学试卷(含答案)）既是偶函数又在区间(0， ?)上单调递减的函数是

?2对称

3 (D)f?x?既奇函数,又是周期函数 2( )

(A)y?sin x (B)y?cos x (C)y?sin 2x (D)y?cos 2x

【答案】B

【精练5】（2012四川文18）、已知函数f(x)?cos2xxx1?sincos?。 2222（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期和值域； （Ⅱ）若f(?)?32，求sin2?的值。 10【考向五】三角函数图像变换与应用 知识点扫描：振幅、（初）相位、频率、周期、五点作图法、图像伸缩、平移变换

【例1】设函数f(x)＝sin ωx＋3cos ωx(ω＞0)的周期为π.

(1)求它的振幅、初相；

(2)用五点法作出它在长度为一个周期的闭区间上的图象；

(3)说明函数f(x)的图象可由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到．

π3

【归纳提升】 1.“五点法”作图的关键是正确确定五个点，通常令ωx＋φ分别等于0，，π，π，2π，

22求出对应的x，y，即可得到所画图象上关键点的坐标．而后列表、描点、连线即可．

2．变换法作图象的关键看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝φ

x＋?来确定平移单位. ω??ω?第5页