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2008年高三第一轮复习讲义参考答案 山东省济宁一中 贾广素编写
第一章 导数及其应用
第一讲 导数及其运算
[知识梳理] ［知识盘点］ 1．(1) f?(x0)?lim (2)f?(x) y?
2．(1)0 (2)nxn?1 (3)cosx (4) ?sinx (5) ex (6)axlna (7)3．u'(x)?v'(x) u'(x)v(x?)1xf(x0??x)?f(x)?x?x?0 切线 时间t 时间t
(8)
1xlogae
x u(x)v' (u?(x)vx(?)ux(v?)x() 2v(x) [基础闯关]
1．B 2．D 3．A 4．D 5．2x－y+4=0 6．－g [典例精析] 变式训练： 1．解：(1)?limf(1??x)?f(1)3?x?x?0?13?x?0limf(1??x)?f(1)?xf(?x)?x?13f?(1)?13?3?1.
(2)由导数的定义知：
f?(0)?limf(0??x)?f(0)?x?x?0?lim?x?0?lim?x(2?|?x|)?x?x?0?lim(2?|?x|)?2?x?0
?f?(0)?2.
2．解：(1)?y?(x?1)(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?x?2x?x?2 ，?y??3x?4x?1. (2)? y?(2x?1)(3x?x)?6x?2x?3x?x,?y??30x?8x?6x?1. (3) ?y?tanx?x?(4) ?y?cos2xsinx?cosxx32542432322sinxcosx?x,?y??(sinx)?cosx?sinx(cosx)?cosx2?1?1cosx2?1?tanx.
2??(sinx?cosx),?y???(sinx?cosx)???(cosx?sinx)?sinx?cosx.
xxxx(5) y??[xe(1?lnx)]??x?e(1?lnx)?x(1?lnx)?xe(1?lnx)??e(1?lnx)?xe(lnx)
?xex1x?e[(1?x)(1?lnx)?1]
x(6) ?y?ln1?x1?x?12[ln(1?x)?ln(1?x)]，?y??121?x(1?11?x)?11?x2.
2008年高三第一轮复习讲义参考答案 山东省济宁一中 贾广素编写
?ae?b?e?a?1b?3. 解：?f?(x)?aex?，由已知得?a，解得：. ?1x?b?0??b?e?e4．解：∵直线过原点，则k=
y0x0（x0≠1）.
3
2
由点（x0，y0）在曲线C上，则y0=x0－3x0+2x0，∴
y0x0=x0－3x0+2.又y′=3x－6x+2，
22
∴在（x0，y0）处曲线C的切线斜率应为k=f?（x0）=3x02－6x0+2.∴x02－3x0+2=3x02－6x0+2. 整理得2x02－3x0=0.解得x0=因此，直线l的方程为y=－
3214（∵x0≠0）.这时，y0=－，k=－
8314.
x，切点坐标是（
32，－）.
83225．解：设抛物线上的切点为P(x0,?x0?2)(x0?0)，由y??x?2，得y???2x，
?k?y?|x?x0??2x0，直线l的方程为y?(?x0?2)??2x0(x?x0)，
2令y?0，得x?x0?22x022?2. ；令x?0，得y?x0因此，所求三角形的面积S?所以S??当x0?34x?1?2012?x0?22x0222(x?2)?20x043?x0?1x0，
631x02?(3x0?2)(x0?2)4x02，令S??0，由x0?0，解得x0?
63时，得S??0；当x0?63363时，S??0
263?当x0?y?43??时S取得最小值，此时k??(x?63，切点P(64,)，所求的切线l的方程是3326)，即26x?3y?8?0.
'6．(1)解：求f(x)的导数：f(x)??1?ax1x11x21x2，由此得切线l的方程：
y?()??(x?x1)。
2a(2)证明：依题意，切线方程中令y=0，x2?x1(1?ax1)?x1?x1(2?ax1)，其中0?x1?① 由0?x1??〈0x2?1a1a2a,x2?x1(2?ax1),有x2?0,及x2??a(x1?1a时，x2?1a1a)?2.
1a
,当且仅当x1?.
x2?1a②当x1?时，ax1?1，因此，x2?x1(2?ax1)?x1，且由①，1a
所以x1?x2?。
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[能力提升]
1．C 2．B 3．D 4．A 5．B 6．0 7．?3b(a?bx)2 8．a??3,b?3 9．2n?1?2 10．解：(1)注意到y＞0,两端取对数，得lny=ln(x－2x+3)+lne=ln(x－2x+3)+2x ?1y?y??(x?2x?3)?x?2x?3222222x2
?2?22x?2x?2x?32?2?22(x?x?2)x?2x?32x22
22x?y??2(x?x?2)x?2x?3?y?2(x?x?2)x?2x?3132?(x?2x?3)?e?2(x?x?2)?e (2)两端取对数，得ln|y|=
1y(ln|x|－ln|1－x|),
x1?x两边解x求导，得?y??11?111111(?)?,?y????y?3x1?x3x(1?x)3x(1?x)3x(1?x)3 11. 解：设P（x0，y0），由题意知曲线y=x2+1在P点的切线斜率为k=2x0，切线方程为y=2x0x+1
－x02，而此直线与曲线y=－2x2－1相切，
∴切线与曲线只有一个交点，即方程2x2+2x0x+2－x02=0的判别式 Δ=4x0－2×4×（2－x0）=0.解得x0=±∴P点的坐标为（
2332
2
233，y0=
7373.
，
73）或（－
233，）
12. 解：（1）由条件知点A??1,2?为直线l1与抛物线C的切点，∵y'?4x， ∴直线l1的
y斜率k??4，∴直线l1的方程为
y?2??4(x?1)， 即4x?y?2?0.
l1DBy=2x2 （2）点A的坐标为(?1,2)
由条件可求得点B的坐标为(a,2a)， 点D的坐标为(a,?4a?2)， ∴△ABD的面积S1为S1?122A2al2-1Ox ?|2a?(?4a?2)|?|?1?a|?|(a?1)|??(a?1)
33第二讲 导数的应用
[知识梳理] ［知识盘点］
1．增函数 减函数 常数 2．越大 越快 陡峭
3．（1）f?(x)?0 f?(x)?0 极小值点 极小值 f?(x)?0 f?(x)?0 极大值点 极大值 极值点 极值
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（2）①求导数f?(x)；②求方程f?(x)?0的根；③检查f?(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个处取得极小值
4．（1）求f(x)在(a,b)内的极值；（2）将f(x)的各极值与两端点的函数值f(a),f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值 [基础闯关]
1．C 2．C 3．B 4．A 5．a?2或a??1 6．4 [典例精析] 变式训练：
1．(1) 解: ∵f(x)?x3?ax2?x?a，∴f?(x)?3x2?2ax?1． ∵函数f(x)的图象上有与x轴平行的切线，∴f?(x)?0有实数解． ∴D?4a2?4?3?1?0，∴a2?3，即 a??3或a?因此，所求实数a的取值范围是(??，?3]?[3，??)．
(2) 解：令f?(x)?6(x?a)(x?1)?0得x1?a,x2?1.
当a?1时,若x?(??,a)?(1,??),则f?(x)?0,所以f(x)在(??,a)和(1,??)上为增函数，故当0?a?1时,f(x)在(??,0)上为增函数.
当a?1时,若x?(??,1)?(a,??),则f?(x)?0,所以f(x)在(??,1)和(a,??)上为增函数，从而f(x)在(??,0]上也为增函数.
综上所述，当a?[0,??)时,f(x)在(??,0)上为增函数. 2．解: （Ⅰ）f `(x)＝－[x2＋(a－2)x＋b－a ]e3－x,
由f `(3)=0，得 －[32＋(a－2)3＋b－a ]e3－3＝0，即得b＝－3－2a，
则 f `(x)＝[x2＋(a－2)x－3－2a－a ]e3－x
＝－[x＋(a－2)x－3－3a ]e
2
3－x
3．
＝－(x－3)(x＋a+1)e
3－x
.
令f `(x)＝0，得x1＝3或x2＝－a－1，由于x＝3是极值点， 所以x+a+1≠0，那么a≠－4. 当a<－4时，x2>3＝x1，则
在区间（－∞，3）上，f `(x)<0， f (x)为减函数；在区间（3，―a―1）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（―a―1，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
当a>－4时，x2<3＝x1，则在区间（－∞，―a―1）上，f `(x)<0， f (x)为减函数
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在区间（―a―1，3）上，f `(x)>0，f (x)为增函数；在区间（3，＋∞）上，f `(x)<0，f (x)为减函数。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当a>0时，f (x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[min(f (0)，f (4) )，f (3)]，
而f (0)＝－（2a＋3）e3<0，f (4)＝（2a＋13）e－1>0，f (3)＝a＋6，那么f (x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a＋3）e3，a＋6]. 又g(x)?(a2?＋
254254)e在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是[a＋
254x2
254，（a
2
）e4]，由于（a2＋
2
）－（a＋6）＝a2－a＋
3214＝（a?12）2≥0，所以只须仅须
（a＋
254）－（a＋6）<1且a>0，解得0 32. 故a的取值范围是（0，）. 1x?lnx的图象总在函数g(x)?23. 证明:要证明在区间(1,??)上,函数f(x)?2方.只需要证明在区间(1??,F(x)?f(x)?g(x),只需要证明F(x)?0即可. 令F(x)?f(x)?g(x)?则F?(x)?x?1232上),f(x)?g(x)恒成立即可,从而构造函数23x的下 312x?lnx?232x, 3 ?2x??xxx由于x?1,所以F?(x)?0,即函数F(x)在(1,??)上是单调减函数, 又因为F(1)???0,所以当x?1时,F(x)?F(1)?0 6因此对于?x?(1,??),有f(x)?g(x). 1x?1?2x(1?x)(1?x?2x)2即函数f(x)的图象总是在函数g(x)的图象的下方. 4．(1)令F(x)?f(x)?2g(x?1x?1)?lnx?2(x?1)x?1，则 F?(x)?1x?2(x?1)?2(x?1)(x?1)2?(x?1)22x(x?1) 由x?1得F?(x)?0，故F(x)在(1,??)是增函数。 ?x?1时F(x)?F(1)?0，即有f(x)?2g(x?1x?1). (2)由原方程得 212x?ln(1?x)?k ① 12t?ln(1?t)?k，即 12t?k?ln(1?t) ② 22令t?x，则原方程变形为令y1?12t?k,y2?ln(1?t)，它们的图象下： 1212??,y211?t当两条曲线在t?t0相切时，由y1??(1,ln2)，这切线方程为y1?ln2?，得 12?1211?t0，于是t0?1，得切点为 12)，与y轴交点为 t(?1，)得y1?t?(ln2?