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2019-2020年人教版高中数学选修1-2教案:2-2-1综合法和分析法

备课教师 阮东良 、 周多龙 、徐江波 项目 课题 教学内容 2.1.2演绎推理 1、 结合已经学过的数学实例,了解直接证明的两种基本方法: 修改与创新 目标 2、 分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点. 教学重、 难点 教学直尺、粉笔 准备 一、复习准备: 1. 已知 “若a1,a2?R?,且a1?a2?1,则论推广猜想. (答案:若a1,a2.......an?R?,且a1?a2?....?an?1,则重点:会用综合法证明问题;了解综合法的思考过程. 难点:根据问题的特点,结合综合法的思考过程、特点,选择适当的证明方法. 11,试请此结??4”a1a2111??....?? n2) a1a2an2. 已知a,b,c?R?,a?b?c?1,求证:教学过程 1. 教学例题: ① 出示例1:已知a, b, c是不全相等的正数,求证:a(b + c) + 22111???9. abc 先完成证明 → 讨论:证明过程有什么特点? b(c2 + a2) + c(a2 + b2) > 6abc. 分析:运用什么知识来解决?(基本不等式) → 板演证明过程(注意等号的处理) → 讨论:证明形式的特点 ② 提出综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立. 框图表示:由因导果. 要点:顺推证法;③ 练习:已知a,b,c是全不相等的正实数,求证b?c?aa?c?ba?b?c???3. abc④ 出示例2:在△ABC中,三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c,且A、B、C成等差数列,a、b、c成等比数列. 求证:为△ABC等边三角形. 分析:从哪些已知,可以得到什么结论? 如何转化三角形中边角关系? → 板演证明过程 → 讨论:证明过程的特点. → 小结:文字语言转化为符号语言;边角关系的转化;挖掘题中的隐含条件(内角和) 2. 练习: ① A,B为锐角,且tanA?tanB?3tanAtanB?3,求证:A?B?60. (提示:算tan(A?B)) ② 已知a?b?c, 求证:114??. a?bb?ca?c3. 小结:综合法是从已知的P出发,得到一系列的结论Q1,Q2,???,直到最后的结论是Q. 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题. 1. 提问:基本不等式的形式? 2. 讨论:如何证明基本不等式a?b?ab(a?0,b?0). 2 (讨论 → 板演 → 分析思维特点:从结论出发,一步步探求结论成立的充分条件) 二、讲授新课: 1. 教学例题: ① 出示例1:求证3?5?2?6. 讨论:能用综合法证明吗? → 如何从结论出发,寻找结论成立的充分条件? →板演证明过程 (注意格式) → 再讨论:能用综合法证明吗? → 比较:两种证法 ② 提出分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 框图表示:法;执果索因. ③ 练习:设x > 0,y > 0,证明不等式:(x?y)?(x?y). 先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明. ④ 出示例4:见教材P48. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论出发,逐步反推) ⑤ 出示例5:见教材P49. 讨论:如何寻找证明思路?(从结论与已知出发,逐步探求) 2. 练习:证明:通过水管放水,当流速相等时,如果水管截面(指横截面)的周长相等,那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大. 21223133 要点:逆推证l,截面积2?lll为?()2,周长为l的正方形边长为,截面积为()2,问题2?44ll只需证:?()2> ()2. 2?4提示:设截面周长为l,则周长为l的圆的半径为3. 小结:分析法由要证明的结论Q思考,一步步探求得到Q所需要的已知P1,P2,???,直到所有的已知P都成立; 比较好的证法是:用分析法去思考,寻找证题途径,用综合法进行书写;或者联合使用分析法与综合法,即从“欲知”想“需知”(分析),从“已知”推“可知”(综合),双管齐下,两面夹击,逐步缩小条件与结论之间的距离,找到沟通已知条件和结论的途径. (框图示意)