内容发布更新时间 : 2024/10/26 6:27:10星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高等数学A（1）复习题

一、函数与极限

1．判断下列每个命题是否正确

（1）若数列?xn?满足limxn?a，则数列?xn?在a的任一?邻域之外（其中??0），数列

n??中的点至多只有有限多个。

（2）若数列?xn?满足:xn?0,n?N?，且limxn?a，则a?0。

n??（3）设limxn?a，且a?0，则存在N?0，当n?N时，有xn?n??a。 4（4）若函数f(x)的极限limf(x)存在，则f(x)在x0的任一邻域内一定有界。

x?x0（5）若函数f(x)在x0处没有定义，则极限limf(x)一定不存在。

x?x02．设极限 lim(x??x?2ax)= 5，求a。 x?a3．求极限

3x3?2cos2x?x222（1）lim； （2）limx(x?1?x?1)； 3x??x???2x?sinx?111ex?sinx?1（3）lim(xsin?sinx)； （4）lim；

2x?0x?0xx1?1?2x1ex?ln(1?x)?1(cosx)sinx； （5）lim； （6）lim?x?0x?0x?arctanx（7）lim?x?0?x20(1?t?1?2t)dt?x0； （8）limx?0?x0(5t?3t)dt。

t(1?cost)dt2xln(1?x)4．当x?0时，下列无穷小量中哪些是与 x 等价的无穷小量

（Ａ）1?cos2x； （Ｂ）e?e（Ｃ）1?x?1?x； （Ｄ）

x22x?x?2；

?1cosxcost2dt。

5．设当x?0时，e?ax?bx?1 是比 x 高阶的无穷小，求a,b。 6．求函数的间断点，并说明类型

（1）f(x)?x?3e?11； （2）。 f(x)?arctan1x3?x2?6xxex?11xx(1?x2n)7．设函数f(x)?lim，讨论函数f(x)的间断点。

n??1?x2n1??xarctan,x?0,8．设函数f(x)?? 讨论函数f(x)在x?0处的连续性和可导性。 x?x?0,?0,?1?cosax,?x?9．设函数f(x)??0?b?x2?1?x?x?0x?0 在x?0处连续、可导，求a,b。 x?010．设函数f(x)在[a,b]上连续，f(a)?a，f(b)?b，证明：至少存在一点??(a,b)，

使f(?)??。

11．设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(x)?2，证明： 方程

?x0f(t)dt?3x?1?0 在区间[0，1]内有且仅有一个根。

二、导数与导数的应用

1．判断下列每个命题是否正确

（1）函数f(x)在点x?x0处可导，则f(x)在点x?x0处连续。

（2）函数y?f(x)在点x?x0处导数为零是f(x)在点x?x0取到极值的必要条件。 （3）设函数f(x)有三阶连续导数，且满足：f?(x0)?0,则f(x0)不是f(x)的极值。 2．设f?(x0)?2，求limh?0f??(x0)?0,f???(x0)?0；

f(x0?2h)?f(x0?3h)。

ln(1?2h)3．求导数 （1）设y?xe3?x?2arcsinx，求y?(x)，y??(x)；

3xsec(1?x2)（2）设y?，求y?(x)； 2x?cosx（3）设y?(1?x2)sinx，求dy；

（4）设f(x)为可导函数，y?f2(x?arctanx)，求

dy； dx（5）设方程 x2?y?siny?1 确定了函数y?y(x)，求y?(x)，y??(x)；

3（6）设f(x)?x?x2(x?cosx)2，求f?(x)； 2x3x(e?1)?x?arctantdyd2y,（7）设函数y?y(x)由 ? 决定，求。 222dxdx?y?t?ln(1?t)（8）设函数f(x)?1(n)，求f(x)。

5?2x4．已知物体的运动规律s(t)?3sint?e?2t（米），求这物体运动的速度和加速度。 5．求平面曲线2x3?2y3?9xy?0在点（1，2）处的切线方程和法线方程。 6．设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内二阶可导，且f(a)?f(b)?0，又

F(x)?(x?a)2f(x)，证明：至少存在一点??(a,b),使F''(?)?0.

7．当 x > 0 时, 证明不等式: x?e?1?xe。

28．证明：当 x?0 时，sinx?cosx?1?x?x。

xx9．讨论函数f(x)??xe(1?31)dt在区间(1,??)的单调性并求极值。 lnt210．讨论函数 f(x)?x?6x?9x?5 的单调性、极值、函数曲线的凹凸性、拐点，并

描绘函数的图形。. 11．在抛物线段 y?x,线与直线 y?0,2(0?x?8) 上求一点A(x0,y0)，使抛物线 y?x2在该点的切

x?8 所围成的三角形的面积最大。

12x?3x?100，该收音机是独家经营，市场2512．每天生产x台收音机的总成本为C(x)?需求规律是：x(p)?60?2p，p是每台收音机的价格（单位：元），问每天生产多少台时净收入最大？此时，每台收音机的价格应定为多少？

三、不定积分与定积分

1．设f(x)有连续的导函数，判别下列等式中哪些是正确的。