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小初高K12学习教材
2016-2017学年高中数学 第1章 计数原理 4 简单计数问题课后演
练提升 北师大版选修2-3
一、选择题
1．现从男、女共8名学生干部中选出2名男同学和1名女同学分别参加全球“资源”、“生态”和“环保”三个夏令营活动，已知共有90种不同的方案，那么男、女同学的人数分别是( )
A．男同学2人，女同学60人 C．男同学5人，女同学3人
B．男同学3人，女同学5人 D．男同学6人，女同学2人
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解析： 设男同学有x人，则女同学有(8－x)人，故Cx×C8－x×A3＝90，∴x＝3.故男同学有3人，女同学有5人．
答案： B
2. 如图，用6种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有( )
A．400种 C．480种
B．460种 D．496种
解析： 从A开始，有6种方法，B有5种，C有4种，D、A同色1种，D、A不同色3种．
∴不同涂法有6×5×4×(1＋3)＝480(种)．故选C． 答案： C
3．某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A．(C26)A10个 C．(C26)10个
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B．A26A10个 D．A2610个
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解析： 英文字母可以相同，故有(C26)种选法，而数字有0～9共10个，故有A10种排法．所以满足要求的牌照号码有(C26)A10个．
答案： A
4．某食堂每天中午准备4种不同的荤菜，7种不同的素菜，用餐者可以按下述方法搭配午餐：①任选两种荤菜，两种素菜和白米饭；②任选一种荤菜，两种素菜和蛋炒饭，则每天不同午餐的搭配方法有( )
A．22种 C．210种
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B．56种 D．420种
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解析： 按第一种方法有C4C7种不同的搭配方法，按第二种方法共有C4C7种不同的搭配方法，故共有C4C7＋C4C7＝6×21＋4×21＝210种搭配方法，故答案选C．
答案： C 二、填空题
5．用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有__________个．(用数字作答)
解析： 分两种情况：
第一类：个、十、百位上都是偶数，C3A3＋C3A4＝90. 第二类：个、十、百位上共有两个奇数一个偶数， C3A3C4＋C3C3A3C3＝234，共有90＋234＝324(个)． 答案： 324
6．9名学生排成前后两排，前排4人，后排5人，若其中某两人必须排在一起且在同一排，则排法种数是__________.
解析： 利用“分类法”和“捆绑法”．这两人坐前排：C3·A2·A7，这两人坐后排：C4·A2·A7，所以共有C3A2A7＋C4A2A7种，即有70 560种方法．
答案： 70 560 三、解答题
7．某校高一年级有6个班级，现在从中选出10人组成高一女子篮球队参加高中篮球比赛，且规定每班至少选1人参加．这10个名额有多少种不同的分配方法？
解析： 方法一：除每班1个名额以外，其余4个名额也需要分配．这4个名额的分配方案可以分为以下几类；
①4个名额全部给某一个班级，有C6种分法； ②4个名额分给两个班级，每班2个，有C6种分法；
③4个名额分给两个班级，其中一个班级1个，一个班级3个．由于分给一班1个、二班3个和一班3个、二班1个是不同的分法，因此是排列问题，共有A6种分法；
④分给三个班级，其中一个班级2个，其余两个班级每班1个，共有C6·C5种分法； ⑤分给四个班级，每班1个，共有C6种分法．N＝C6＋C6＋A6＋C6·C5＋C6＝126(种)． 方法二：该问题也可以从另外一个角度去考虑：因为是名额分配问题，名额之间无区别，所以可以把它们视作排成一排的10个相同的球，要把这10个球分开成6段(每段至少有一个球)．这样，每一种分隔办法，对应着一种名额的分配方法．这10个球之间(不含两端)共有9个空位，现在要在这9个位子中放进5块隔板，共有N＝C9＝126(种)放法．
故共有126种分配方法．
8．将6名应届大学毕业生分配到3个公司．
(1)3个人分到甲公司，2个人分到乙公司，1个人分到丙公司，有多少种不同的分配方
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案？
(2)一个公司去3个人，另一个公司去2个人，剩下的一个公司去1个人，有多少种不同的分配方案？
解析： (1)利用分步乘法计数原理， 第一步，3个人分到甲公司：C6； 第二步，2个人分到乙公司：C3； 第三步，1个人分到丙公司：C1. ∴总的分配方案有C6·C3·C1＝60(种)．
(2)此题与(1)题不同，3个人去一个公司．首先将3人选出，再选公司(有三种情况)，所以解决问题可分步如下：
第一步，选3人，C6； 第二步，3人选公司，C3； 第三步，选2人，C3； 第四步，2人选公司，C2； 第五步，剩余1人去一个公司，C1.
所以分配方案有C6·C3·C3·C2·C1＝360(种)． 尖子生题库
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9．将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端点异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数．
解析： 如图所示，由题设，四棱锥S－ABCD的顶点S、A、B所染颜色互不相同，它们共有5×4×3＝60种染色方法．
当S、A、B已染好时，不妨设其颜色分别为1,2,3；若C染颜色2，则
D可染颜色3或4或5；若C染颜色4，则D可染颜色3或5，也有2种染法，
若C染颜色5，则D可染颜色3或4，可见，当S、A、B已染好时，C与D还有7种染法，由分步乘法计数原理知，不同的染色方法总数为60×7＝420(种)．
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