内容发布更新时间 : 2024/5/2 11:40:44星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

对称性在积分计算中的应用

引言

积分在数学分析中是相当重要的一项内容，而在计算积分的过程中，我们经常会碰到积分区域或者被积函数具有某种对称性的题型.那么，如果我们在解题中发掘或注意到问题的对称性，并巧妙地把它们应用到积分的计算过程中去，往往可以简化计算过程，达到事倍功半的效果，我们甚至可以不用计算就可以直接判断出其结果.在积分计算中利用对称性来解题这种方法，是一种探索性的发现方法，它与其他方法的不同之处主要体现在其创造性功能. 因此，掌握和充分利用对称性求积分这一方法，对于活跃和开拓我们学生的创造性思维，提高判断解题能力，探讨解题方法是十分有益的.下面从定积分、积分、线面积分三方面来介绍一下对称性在积分计算中的应用.

一、相关的定义

设平面区域为D,若点(x,y) ?D?(2a?x,y),则D关于直线x?a对称，称点

(x,y)与(2a?x,y)是关于x?a的对称点.若点(x,y)∈D?(x,2b?y) ?D(x,y)，则D关于直线y?b对称，称点(x,y)与(x,2b?y)是关于y?b的对称（显然当。 a?0,b?0对D关于y,x轴对称）

二、对称性在定积分中的应用

（一） 定积分的概念 1. 概念

设函数f(x)在[a,b]上有界，

(1) 在[a,b]内插入若干个分点a?x0?x1?x2?......?xn?b,把区间[a,b]分成n个小区间[x0,x1],[x1,x2],......[xn?1,xn],各个小区间长度依次为

?x1?x1?x0,?x2?x2?x1,......?xn?xn?xn?1.

(2) 在每个小区间上任取一点?i(xi?1??i?xi),作函数f(?i)与小区间长度?xi的乘积

f(?i)?xi(i?1,2,......,n),,并作出和 S??f(?i)?xi.

i?1n1

(3) 记??max{?x1,?x2,......,?xn},如果不论对[a,b]怎样划分，也不论在小区间

[xi?1,xi]上点?i怎样选取，只要当??0时，和S总趋于确定的极限I，那么这个极限称为函数的f(x)在区间[a,b]上的定积分，记为?f(x)dx即记为

ab

?baf(x)dx?I??f(?i)?xi

i?1n 其中f(x)叫做被积函数，f(x)dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a,b]叫做积分区间. 2. 几何意义

几何上,?f(x)dx(a?b)表示曲线y?f(x)与x轴，x?a,x?b所围曲边梯形面

ab积的代数和.

（二） 对称性在定积分中的性质

性质 1 若f?x?在[a,b]上可积，k为常数，则kf?x?在[a,b]上也可积，则

?kf(x)dx?k?abbaf(x)dx

性质 2 若f?x?,g?x?都在[a,b]上可积,则f(x)?g(x)在[a,b]上也可积，且

?ba[f(x)?g(x)]dx??f(x)dx??g(x)dx.

aabbf?x??g?x?在[a,b]上也可积 性质 3 若f?x?,g?x?都在[a,b]上可积，则在性质 4 f?x?在[a,b]上可积的充要条件是：任给c?(a,b),f?x?在[a,c]与[c,b]上

都可积.

此时又有等式?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx.aacbcb

规定 1 当a?b时，令?f(x)dx?0.

ab规定 2 当a?b时，令?f(x)dx???f(x)dx. .

abba性质 5 设f?x?为[a,b]上的可积函数.若f(x)?0,x?[a,b],则?f(x)dx?0.

ab推论（积分不等式性）

若f?x?与g?x?为[a,b]上的两个可积函数，且f(x)?g(x),x?[a,b],

2

bb则有?f(x)dx??g(x)dx.

aa

性质 6

若f?x?在[a,b]上可积，则f?x?在[a,b]上也可积，且?baf(x)dx??f(x)dx.

ab（三） 对称性在定积分中的定理

定理1 若f(x)在[-a,a](a>0)上连续且为偶函数,则证明 因为 ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx

?a?a0a0a?a?af(x)dx?2?f(x)dx.

0a对积分作代换x?-t,则得

?f(x)dx???f(?t)dt??f(?t)dt??f(?x)dx

?aaa0000aa 所以 ?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dx??[f(x)?f(?x)]dx

?a?a000aa(1) 若f(x)为偶函数，则f(?x)?f(x),即f(?x)?f(x)?2f(x) 所以?f(x)dx?2?f(x)dx

?a0aa(2) 若f(x)为奇函数，则f(?x)??f(x),即f(?x)?f(x)?0 所以?f(x)dx?0.

?aa注 定理1可简化计算偶函数，奇函数在对称于原点的区间上的定积分为0.

（四） 对称性在定积分中的应用举例 例 1 ?(1?x3)1?x2dx

?11解 =

?1?11?xdx??x31?x2dx?121

因为积分区间关于原点对称，而1-x2是偶函数，x31?x2是奇函数，故

?1?1x31?x2dx?0,

1?2?设 x=siny ?1?xdx??2?cosy2dy??12?2

原式=

? 2例 2 计算

?2?2xln?1?ex?dx

因为积分区间关于原点对称，但ln1?ex既不是奇函数也不是偶函数，我们可

3

??