内容发布更新时间 : 2024/11/17 6:22:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

(五)坐标系与参数方程

1.(2018·甘肃省西北师范大学附属中学模拟)已知在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程

?x＝22t，是?

2y＝?2t＋42

(t为参数),以原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐

π

θ＋?. 标方程为ρ＝2cos??4?(1)判断直线l与曲线C的位置关系；

(2)设M为曲线C上任意一点,求x＋y的取值范围.

?x＝22t，

解 (1)由?

2y＝?2t＋4πθ＋?, 由ρ＝2cos??4?2，

消去t,得直线l的普通方程为y＝x＋42.

ππ

得ρ＝2cos θcos －2sin θsin＝2cos θ－2sin θ.

44∴ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ, 即 x2－2x＋y2＋2y＝0. 化为标准方程得?x－

?

2?2?2

＋y＋?2＝1. 2??2?∴圆心坐标为?

22?,半径为1. ，－2??2

∵圆心到直线l:x－y＋42＝0的距离

d＝?2＋2＋42?

2?2?

2

＝5>1,

∴直线l与曲线C相离.

(2)由M(x,y)为曲线C上任意一点,

?x＝22＋cos θ，

可设?

2

y＝－＋sin θ?2

(0≤θ<2π),

π

θ＋?, 则x＋y＝sin θ＋cos θ＝2sin??4?∵0≤θ<2π,

π

θ＋?≤2, ∴－2≤2sin??4?∴x＋y的取值范围是[－2,2].

2.(2018·湖北省华中师范大学第一附属中学模拟)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方

???x＝1＋cos α，?x＝cos β，

程为?(α为参数),曲线C2的参数方程为?(β为参数),以坐标原点O

?y＝sin α?y＝1＋sin β??

为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线C1和曲线C2的极坐标方程；

ππππ

<α

α－?, 即ρ2＝2sin??6?π

α－? 则|OP|·|OQ| ＝ρ1·ρ2＝2cos α·2sin??6?＝4cos α?

31?sin α－cos α

2?2?

＝23sin αcos α－2cos2α

π

2α－?－1. ＝3sin 2α－cos 2α－1＝2sin?6??ππ

∵<α<, 62ππ5π∴<2α－<, 666πππ当2α－＝,即α＝时,

623|OP|·|OQ|取最大值1.

3.(2018·江西省重点中学协作体联考)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1过点P(m,2),其参数方

??x＝m＋t，

程为?(t为参数,m∈R),以O为极点,x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的

?y＝2－t?

极坐标方程为ρcos 2θ＋8cos θ－ρ＝0.

(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；

(2)求已知曲线C1和曲线C2交于A,B两点,且|PA|＝2|PB|,求实数m的值.

??x＝m＋t，

解 (1)C1的参数方程?(t为参数,m∈R)

?y＝2－t，?

消参得普通方程为x＋y－m－2＝0.

C2的极坐标方程化为ρ(2cos2θ－1)＋8cos θ－ρ＝0,两边同乘ρ得2ρ2cos2θ＋8ρcos θ－2ρ2＝0,即y2＝4x.

即C2的直角坐标方程为y2＝4x.

?x＝m－22t，

(2)将曲线C的参数方程标准化为?

2

y＝2＋t?2

1

(t为参数,m∈R),代入曲线C2:y2＝4x,

1

得t2＋42t＋4－4m＝0, 2

1

由Δ＝(42)2－4××(4－4m)>0,得m>－3,

2设A,B对应的参数为t1,t2,

由题意得|t1|＝2|t2|,即t1＝2t2或t1＝－2t2,

?t1＝2t2，?

当t1＝2t2时,?t1＋t2＝－82，

?t2＝2?4－4m?，?t1·

23

解得m＝－,满足m>－3；

9

?t1＝－2t2，?

当t1＝－2t2时,?t1＋t2＝－82，

?t2＝2?4－4m?，?t1·

解得m＝33,满足m>－3. 23

综上,m＝－或33.

9

??x＝tcos α，

4.(2018·郑州模拟)在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为?(t为参

?y＝1＋tsin α?

数,0≤α<π).以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴,建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为ρcos2θ＝4sin θ.

(1)求直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程；

(2)设直线l与曲线C交于不同的两点A,B,若|AB|＝8,求α的值.