内容发布更新时间 : 2024/6/16 16:35:34星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

两角差的余弦公式教学设计

授课人：梁潇

【教学目标分析】 1、知识目标

通过两角差的余弦公式的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角公式打好基础。 2、能力目标

通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦公式，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力 3、情感目标

使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

【教学重点与难点 】

重点：通过探索得到两角差的余弦公式。

难点：探索过程的组织和适当引导。 【教学过程】 1、创设情境

教师活动：同学们，我们第一章学习了有关三角函数的知识，现在第三章我们接着学习与三角函数有关的内容。先请大家回答以下几个问题：

cos45??________,sin30??_________,cos15??_________,

我们初中就已经学习了特殊角的三角函数值，像15?这样不特殊的角的三角函数值怎么求？能否将它转换成特殊角的三角函数值呢？

学生活动：有cos15??cos(45??30?)，如果有cos(45??30?)?cos45??cos30?，

15?的余弦值就可以求出来。

教师活动：那么同学们得猜想正确吗？同学们可以借助计算器来验证此结论的正确性。

学生活动：经计算发现cos(45??30?)?cos45??cos30?

2、引入课题

那么cos(45??30?)究竟等于什么？它与45?与30?的三角函数值有着什么样的关系？这就是我们今天要学习的内容——3.1.1两角差的余弦公式 3、公式探究

教师活动：请大家看大屏幕，在单位圆中，A点与B点分别为45?、30?角的终边与单位圆的交点，那么图中哪个角为15?？它与特殊角45?和30?的关系是怎样的？我们在前两章学习了三角函数的单位圆定义与两个向量的夹角的相关概念，我们45?能利用这两个知识来求出15?的余弦值吗？

y A 45?30?O B x

学生活动：图中?AOB?15?，且有45??30??15?，?AOB可以看作是向量A点的坐标为（OA与OB的夹角，

2213，B点的坐标为，则OA与OB的,）（,）2222坐标即点A与点B的坐标。根据向量数量积的定义知， cos?AOB?OA?OBOAOB?21232?6????22224，

即有cos(45??30?)?2?6， 4事实上，A点的坐标为(cos45?,sin45?)，B点的坐标为(cos30?,sin30?)， 那么cos(45??30?)?cos45?cos30??sin45?sin30?

教师活动：至此，我们通过三角函数的单位圆定义与向量的夹角的概念求出了

cos(45??30?)的余弦值，那么由特殊到一般，你能猜想出cos(???)求值公式

吗？请证明你的猜想。

学生活动：猜想cos(???)?cos?cos??sin?sin?，证明方法如下。

A ??O B x

在平面直角坐标系中建立单位圆O, 作出角?,?，它们的终边与单位圆分 别交于A、B两点, 则OA??cos?,sin??,OB??cos?,sin??，由向量数量积的概念得，cos(???)?OA?OBOAOB=cos?cos??sin?sin?。

教师活动：同学们猜想两角差余弦公式时，对公式中的角?,?有无限制？若他们取任意角时，?,?角有可能从x轴正半轴出发旋转了几周后终边落到了OA与OB处，那么此时?AOB与???的关系是什么呢？它们的余弦值仍然相等吗？请看大屏幕。

y y A O B x BO A x

图1 图2

图1中，??2k?????AOB,图2中，??2k?????AOB

于是????2k???AOB,k?Z，

所以根据诱导公式有，cos(???)?cos?AOB

即对任意角?,?，都有cos(???)?cos?cos??sin?sin?成立 此公式给出了任意角?,?的正弦、余弦值与其差角???的余弦值之间的关系，称为两角差的余弦公式。简记作C???。 4、公式应用

例1、你还有别的方法可以求cos15的值吗？

（60?-45?） 学生活动：cos15??cos

=cos60?cos45??sin60?sin45? ?12326?2 ????22224例2、求值（1）sin75?（2）cos75?

学生活动：利用诱导公式和两角差的余弦公式解决75?的正弦值，并在探究解题方法的过程中得到两角和的余弦公式。能将正确的解题过程写出来，并在投影仪下展示。

（1）sin75??sin(90??15?)?cos15??6?2 4 （2） cos75??cos(45??30?)?cos[45??(?30?)]

=cos45?cos30??sin45?sin30? =

6?2 4 由特殊到一般，有cos(???)?cos[??(??)]=cos?cos??sin?sin?，此公式被称为两角和的余弦公式，简记为C???.

sin??4?5,??(,?),cos???,?5213是第三象限角，求cos(???)，

例2、已知

cos(???)的值。

学生活动：

sin??解：由

434?cos???1?sin2???1?()2??,??(,?)55 52，得

5,?13是第三象限角，得

又由

cos???sin???1?cos2???1?(?5212)??1313

3541233(?)?(?)??(?)?13513=65 所以，cos(???)?cos?cos??sin?sin?=53541263?(??)?co?sco?s?sin?sin??(?)?(?)??(?)= cos51351365例3、求下列各式的值

（1）cos72?cos12??sin72?sin12?

（2）cos44?cos16??sin44?sin16?

学生活动：此题为两角和差公式得逆运算。

解：（1）cos72?cos12??sin72?sin12??cos(72??12?)?cos60??3 22 2（2）cos17?cos29??sin16?sin29??cos(16??29?)?cos45??例4、化简 （1）

2213cosx?sinx （2）cosx?sinx 2222（3）3cosx?sinx （4）2cosx?6sinx 学生活动： 解：（1）

22cosx?sinx?cos45?cosx?sin45?sinx?cos(45??x) 2213sinx?cos60?cosx?sin60?sinx?cos(60??x) （2）cosx?22（3）3cosx?sinx=2(31cosx?sinx)?2(cos30?cosx?sin30?sinx) 22 =2cos(30??x)

(4)

1313sinx)?22(cosx?sinx) 2cosx?6sinx=22(cosx?2222 ?22(cos60?cosx?sin60?sinx)?22cos(60??x)