内容发布更新时间 : 2024/5/7 9:50:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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基本不等式的证明

【教学?建构】

把一个物体放在天平的一个盘子里，在另一个

盘子上放砝码使天平平衡．称得物体的质量为a．

如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同 （其他因素不计），那么a并非实际质量．不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另

一个盘上，此时称得物体的质量为b．那么如何合理地表示物体的质量呢？

简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以

A?a?b 2表示物体的质量．这样的做法合理吗？

设天平的两臂长分别为l1、l2，物体的实际质量为M，根据力学原理有

l1M?l2a， l2M?l1b．

以上两式相乘再除以l1l2，可以得到

M?ab．

ab是物体的实际质量，它也是正数a,b的一种“平均”

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一般地，对于正数a,b，我们把a?b称为a,b的算术平均数，

2ab称为a,b的几何平均数．

思考 计算下列两个数的算术平均数与几何平均数（其中p?0）

（1） 2，8 （2） 3，12 （3） p，9p （4）2，2p2

探究1 两个正数a,b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？

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定理 如果

a,b是正数，那么________________

（ ）.

该

不

等

式

通

常

称

为

_______________.

（ ）

思考1 根据下图，你能给出基本不等式的几何解释吗？

思考2 请你给出基本不等式的变形.