内容发布更新时间 : 2024/12/23 19:07:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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基本不等式的证明

【教学?建构】

把一个物体放在天平的一个盘子里，在另一个

盘子上放砝码使天平平衡．称得物体的质量为a．

如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同 （其他因素不计），那么a并非实际质量．不过， 我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另

一个盘上，此时称得物体的质量为b．那么如何合理地表示物体的质量呢？

简单的做法是，把两次称得物体的质量“平均”一下，以

A?a?b 2表示物体的质量．这样的做法合理吗？

设天平的两臂长分别为l1、l2，物体的实际质量为M，根据力学原理有

l1M?l2a， l2M?l1b．

以上两式相乘再除以l1l2，可以得到

M?ab．

ab是物体的实际质量，它也是正数a,b的一种“平均”

全国名校高一数学寒假优质自学学案、专题汇编（附详解） 方式．

一般地，对于正数a,b，我们把a?b称为a,b的算术平均数，

2ab称为a,b的几何平均数．

思考 计算下列两个数的算术平均数与几何平均数（其中p?0）

（1） 2，8 （2） 3，12 （3） p，9p （4）2，2p2

探究1 两个正数a,b的算术平均数和几何平均数之间具有怎样的大小关系？

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定理 如果

a,b是正数，那么________________

（ ）.

该

不

等

式

通

常

称

为

_______________.

（ ）

思考1 根据下图，你能给出基本不等式的几何解释吗？

思考2 请你给出基本不等式的变形.