内容发布更新时间 : 2024/6/29 16:13:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

全称命题、存在性命题的真假

例1 (1)以下四个命题既是存在性命题又是真命题的是( ) A．锐角三角形有一个内角是钝角 B．至少有一个实数x，使x2≤0 C．两个无理数的和必是无理数 1

D．存在一个负数x，使>2 x答案 B

解析 A中锐角三角形的内角都是锐角，所以A是假命题；B中当x＝0时，x2＝0，满足x2≤0，所以B既是存在性命题又是真命题；C中因为2＋(－2)＝0不是无理数，所以C是假命题；11

D中对于任意一个负数x，都有<0，不满足>2，所以D是假命题．

xx(2)下列四个命题：

?1??1???

log1x>log1x②?x∈(0,1)，

23xx；

1?x

③?x∈(0，＋∞)，??2?>11

0，?，??x<④?x∈??3??2?log1x2；

log1x3.

其中真命题的序号为________． 答案 ②④

1?x?1?x

解析 对于①，当x∈(0，＋∞)时，总有??2?>?3?成立，故①是假命题；

1

对于②，当x＝时，有

21

对于③，当0

1=log12111=log1>log123332成立，故②是真命题；

log1x21?x>1>??2?，故③是假命题；

11

0，?，??x<1<对于④，?x∈??3??2?

log1x3，故④是真命题．

思维升华 判定全称命题“?x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立． 跟踪训练1 (1)下列命题中的假命题是( ) A．?x∈R,2x1>0 C．?x∈R，lg x<1 答案 B

解析 当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B. (2)已知函数f (x)＝x，则( ) A．?x∈R，f (x)<0 B．?x∈(0，＋∞)，f (x)≥0

f ?x1?－f ?x2?

C．?x1，x2∈[0，＋∞)，<0

x1－x2

D．?x1∈[0，＋∞)，?x2∈[0，＋∞)，f (x1)>f (x2) 答案 B

解析 幂函数f (x)＝x的值域为[0，＋∞)，且在定义域上单调递增，故A错误，B正确，C错误，D选项中当x1＝0时，结论不成立．

1212－

B．?x∈N*，(x－1)2>0 D．?x∈R，tan x＝2

含有一个量词的命题的否定

1．已知命题p：“?x∈R，e－x－1≤0”，则綈p为( ) A．?x∈R，e－x－1≥0

xeB．?x∈R，－x－1>0

xxC．?x∈R，ex－x－1>0 D．?x∈R，ex－x－1≥0 答案 C

解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系，可得綈p为“?x∈R，ex－x－1>0”，故选C.

2．(2020·山东模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则綈p为( ) A．所有正方形都不是平行四边形 B．有的平行四边形不是正方形 C．有的正方形不是平行四边形

D．不是正方形的四边形不是平行四边形 答案 C

解析 “所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即綈p为有的正方形不是平行四边形．

3．命题：“?x∈R，sin x＋cos x>2”的否定是________________． 答案 ?x∈R，sin x＋cos x≤2

4．(2019·邯郸一中测试)若命题p的否定是“对所有正数x，x>x＋1”，则命题p是____________________．

答案 ?x∈(0，＋∞)，x≤x＋1

思维升华 对全称命题、存在性命题进行否定的方法

(1)找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词； (2)对原命题的结论进行否定．

根据命题的真假求参数的取值范围

例2 (1)已知命题p：?x∈R，x2－a≥0；命题q：?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________． 答案 (－∞，－2]

解析 由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.

1?x

(2)已知f (x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝??2?－m，若对?x1∈[0,3]，?x2∈[1,2]，使得f (x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________． 1

，＋∞? 答案 ??4?

解析 当x∈[0,3]时，f (x)min＝f (0)＝0，当x∈[1,2]时， 1

g(x)min＝g(2)＝－m，由题意得f (x)min≥g(x)min，

411即0≥－m，所以m≥.

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