内容发布更新时间 : 2024/6/27 2:42:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
n（2） 验证S2
=
12n?1(?Xi?nX2)；
i?1（3） 验证E（S2
）=σ2
.
nn【证】(1) E(X)?E?1?X?1nn(?n??X1i??Ei)??E(Xi)?1i?1?i?1ni?1n?nu?u.
nD(X)?D?11n1n??n?X?i??i?1?n2D(?Xi)Xi之间相互独立2??DXi
i?1ni?1 ?12n2?n???2n.
(2) 因
nn?(Xi?X)2??(X22ni?X?2XXi)??X22ni?nX?2X?Xi
i?1i?1i?1i?1nn ??X2i?nX2?2X?nX??X22i?nX
i?1i?1n故S2?12n?1(?Xi?nX2).
i?1(3) 因E(X)?u,D(X22222ii)??,故E(Xi)?D(Xi)?(EXi)???u.
2同理因E(X)?u,D(X)???22n,故E(X2)?n?u.
从而
nE(s2)?E?1?22?1n22n?1(?Xi?nX)??[E(?Xi)?nE(X)]
?i?1?n?1i?1n?12n?1[?E(X2i)?nE(X)]
i?11???2
?n?1??n?(?2?u2)?n??u2???2.??n?????
15.对随机变量X和Y，已知D（X）=2，D（Y）=3，Cov(X,Y)=??1,
计算：Cov（3X??2Y+1，X+4Y??3）.
【解】Cov(3X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8D(Y) ?3?2?10?(?1)?8?3? ? 21
(因常数与任一随机变量独立，故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似).
16.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为
?1?,f（x，y）=?π?0,?x?y?1,其他.22
试验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】设D?{(x,y)|x2?y2?1}.
E(X)???????????xf(x,y)dxdy?1π2??xdxdy
x?y?12 =同理E(Y)=0. 而 CovX(Y,?)? ?1π??02π10rcos??rdrd??0.
???????????x?[Ex?()]?y[EY(1πf)]x(y, xy1π2xydxdy?x?y?12??02π10rsin?cos?rdrd??0,
2由此得?XY?0,故X与Y不相关.
1?x2下面讨论独立性，当|x|≤1时，fX(x)?1?y2121?1?xπdy?2π1?x.
2当|y|≤1时，fY(y)?121?1?yπdx?2π1?y. 2显然fX(x)?fY(y)?f(x,y).
故X和Y不是相互独立的.
17.设随机变量（X，Y）的分布律为 Y ??1 0 1 X ??1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的，但X和Y不是相互独立的. 【解】联合分布表中含有零元素，X与Y显然不独立，由联合分布律易求得X，Y及XY的
分布律，其分布律如下表
22
X P
Y P
XY P
??1 380 281 38 ??1 380 281 38 ??1 280 481 28 由期望定义易得E（X）=E（Y）=E（XY）=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0，从而X和Y是不相关的. 又P{X??1}?P{Y??1}?38?38?18?P{X??1,Y??1}
从而X与Y不是相互独立的.
18.设二维随机变量（X，Y）在以（0，0），（0，1），（1，0）为顶点的三角形区域上服从均
匀分布，求Cov（X，Y），ρXY. 【解】如图，SD=
12，故（X，Y）的概率密度为
题18图
?2,f(x,y)???0,(x,y)?D,其他.101?x0
E(X)???Dxf(x,y)dxdy??dx?x?2dy?13
E(X)?2??Dxf(x,y)dxdy?2?10dx?1?x02xdy?216
1?1?从而D(X)?E(X2)?[E(X)]2?????.
6?3?1812同理E(Y)?13,D(Y)?118.
23
而 E(XY)?所以
??Dxyf(x,y)dxdy???2xydxdy?D?10dx?1?x02xydy?112.
Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)?E(Y)?112?13?13??136.
从而 ?XY?CovX(Y,)??118136?118??2D(X)?D(Y)
119.设（X，Y）的概率密度为
?1?sin(x?y),f（x，y）=?2?0,?0?x?π2,0?y?π,2
其他.求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρXY. 【解】E(X)???????????xf(x,y)dxdy?π?π/20dx?π/201πx?sin(x?y)dy?. 24π E(X)?从而
2?20dx?201ππx?sin(x?y)dy???2. 28222D(X)?E(X)?[E(X)]?22π216?π22?2.
同理 E(Y)?π4,D(Y?)π/20π/20π16π?2? 2.π22又 E(XY)??dx?xysin(x?y)dxdy??1,
故 CovX(Y,?)EX(Y?)E?X(2?π?ππ)E?Y()????1?24??4?π?4????4?? ?.?XY??π?4????22Cov(X,Y)(π?4)π?8π?16?4??2??2??2. πππ?8π?32π?8π?32D(X)?D(Y)??21621??，试求Z1=X??2Y和Z2=2X??Y的相关4??120.已知二维随机变量（X，Y）的协方差矩阵为??1系数.
【解】由已知知：D(X)=1,D(Y)=4,Cov(X,Y)=1.
24
从而
D(Z1)?D(X?2Y)?D(X)?4D(Y)?4Cov(X,Y)?1?4?4?4?1?13,D(Z2)?D(2X?Y)?4D(X)?D(Y)?4Cov(X,Y)?4?1?4?4?1?4,
Cov(Z1,Z2)?Cov(X?2Y,2X?Y)
?2CovX(X,?)4CYovX(?,)XCoYv?()?5,1??5526)Y2YC1?13.
?2D(X)?5CovX(Y,?)D2Y?(Cov(Z1,Z2)D(Z1)?D(Z2)2
2
2??
2?45.故 ?ZZ?12?13?421.对于两个随机变量V，W，若E（V），E（W）存在，证明：
［E（VW）］2≤E（V2）E（W2）.
这一不等式称为柯西许瓦兹（Couchy??Schwarz）不等式. 【证】令g(t)?E{[V?tW]2},t?R.
显然
0?g(t)?E[(V?tW)]?E[V22?2tVW?tW]
E[W]?,?t
2222 ?E[V2]?2?tE[VW]??tR.可见此关于t的二次式非负，故其判别式Δ≤0， 即0???[2E(VW)]2?4E(W2)?E(V2)
2 ?4{E[V(W)?]EV(?)EW( )}.222故[E(VW)]?E(V)?E(W)}.
22.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数λ=1/5的指数分布.设备定时开机，出现
故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障
工作的时间Y的分布函数F（y）.
【解】设Y表示每次开机后无故障的工作时间，由题设知设备首次发生故障的等待时间
X~E(λ),E(X)==5. ?依题意Y=min(X,2). 对于y<0,f(y)=P{Y≤y}=0.
对于y≥2,F(y)=P(X≤y)=1.
对于0≤y<2,当x≥0时，在(0,x)内无故障的概率分布为 P{X≤x}=1??e
??λx
221,所以
F(y)=P{Y≤y}=P{min(X,2)≤y}=P{X≤y}=1??e
??y/5
.
25