内容发布更新时间 : 2024/5/18 8:15:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第二章 结构矩阵分析
由于有限元方法起源于力学中的结构分析，本章的作用是通过三个典型问题说明有限元方法应用于结构分析时的一般步骤，并借此了解有限元方法的一些基本概念。
§2-1平面桁架
（直接法，结构矩阵分析中常用的力法，处理静定问题，位移法，
可处理静定&静不定）
本节讨论的对象是图2-1所示的平面桁架。组成桁架的各杆为等截面直杆，外载荷p直接作用于杆的铰接点（结点）上。为简单起见不妨设各杆的截面积均为Ａ，材料的弹性模量均为Ｅ。我们可按下述步骤求得桁架的变形和内力。
２ ppy v q
①
② ３x u p １ ③
图２－２ 图２－１
１、结构的离散化 对结点及单元编号
取组成桁架的每根杆为一个单元(该问题本身为一离散结构的力学问题)，以①, ②, ③ 加以编号；取杆的铰接点为结点，以１、２、３加以编号（总体结点序号）。如图２－２所示，即：我们所讨论的桁架包括三个单元、三个结点。各单元（杆）仅在结点处连接。
２、建立总体坐标系 并确定结点坐标和自由度
为了描述结构的平衡需要建立一个坐标系，称为总体坐标系，以区别于以后出现的“局部坐标系”。总体坐标系的选择原则上不受限制，但希望使用方便。本节所选的总体坐标系示于图２－２，坐标原点与结点１重合。以u, v 分别表示沿 x, y方向的位移分量， p, q分别表示力沿 x, y 轴的力分量（投影）。
在总体坐标系中各结点的坐标为：
x’ u’ p’ （x1, y1）=(0, 0 )、（x2, y2）=(a, a )、（x3, y3）=(a, 0 )
它们将作为程序的输入数据（几何参数）。
s 每个结点有两个自由度，对结点１、２、３分别为
y v q j {u1，
v1}T 、 {u2 ，v2}T 、 {u3， v3}T
① ’’’ y v q若暂时不考虑支承约束条件，整个结构的结点自由度
α 为
s i {u1 v1 u2 v2 u3 v3 }T
x u p ３、单元分析（建立结点力与结点位移之间的关系） 取一个一般性的单元，设它的两个结点在结构中的编号为i, j （单元内部的结点序号）。由材料力学可知，杆图２－３ 的轴向刚度为EA/L。其中Ｌ为杆的长度：
22 L?xj?xi?yj?yi
（１）单元局部坐标系
现选取一典型单元对其进行单元分析，对所分析的单元按如下方式建立一个坐标系： 原点：与结点i重合, x’轴：沿 i ,j方向, y’轴：与x’轴垂直。
如图2-3所示。这个坐标系只属于一个单元，故称为单元局部坐标系，不同单元的单元局部坐标系一般是不相同的。在单元局部坐标系中可以规定：
结点自由度 { u’i v’i }T， { u’j v’j }T ； 单元结点自由度 { u’ }＝{ u’i v’i u’j v’j }T 。 （２）局部坐标系中的单元刚度矩阵
在外载荷作用下，结构发生变形，单元必受到来自结点的作用力。桁架中的杆只承受轴向力Ｓ，大小与杆的轴向伸长△Ｌ成正比
EAS??L
L
在局部坐标系中这种特性可以得到清楚的表述（这一点也是引入局部坐标系的理由之一）。若以 p’i , q’i , p’j , q’j 分别表示结点i, j作用于单元的力在 x’, y’ 轴上的投影，由①号单元的静力平衡有（图2-3）有
????
(2-1-1)
用矩阵的形式可以写成
?pi'??10?10??ui?? ?q'??0000??v??EA?i?i???? ???????p'j?L??1010??uj?
???????q'0000j ???vj???
T若引入单元广义力矢量： ? r ? ? ? p i? q i ?j q ?j 则上式可缩写为 ? p
?r????k???u??(2-1-2)
其中 ?10?10? ??EA?0000?(2-1-3) ?k???
L??1010? ??0000??
EA(u?j?ui?)LEApi???s?(ui??u?j)Lq?j?qi??0p?j???称为局部坐标系中的单元刚度矩阵,它只与杆的几个参数E、A、L有关，与杆的方位无关。
（３）坐标变换
局部坐标系中的单元刚度矩阵公式简捷。但不同单元的局部坐标系一般不同，为了研究结构整体的平衡，必须将结点给单元的力以及相应的单元刚度矩阵转换到统一的坐标系──总体坐标系。在总体坐标系中
单元结点自由度 { u }＝{ ui vi uj vj }T 结点给单元的力 {r }＝{ pi qi p j qj }T 在图2-3中，x’ 轴与x轴的夹角为 α xj?xiyj?yi cos??, sin??
LL 结点的位移分量的坐标变换为 ?ui???cos?sin???ui??ui????? ??v???t??v??v?sin?cos???i??i???i? ?u?j??cos?sin???uj??uj? ???????v???t??v?v?sin?cos???j??j???j?
单元的位移分量的坐标变换为
?ui???cos?sin?00??ui??ui?
?v????v??v? 00??i???sin?cos??i?i??????T??????? ?uuu??00cos?sin??j??j??j??? ??0?sin?cos????v?j???0?vj???vj??
或缩写为 ? ? ?T ?? u??u? (2-1-４ )
类似，{r’} 与 {r} 之间的转换关系为 (2-1-５) ?r????T??r? 由于
?cos?sin??
?t????(2-1-6) ??sin?cos??
是正交矩阵，因此
?t0?
?T???? ?0t?
也是正交矩阵。所以有 ?T?-1??T?T
将（2-1-4）、（2-1-5）代入（2-1-2）有
(2-1-7)
?T??r???k???T??u?