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因动点产生的平行四边形问题

例1 2015年成都市中考第28题

如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2－2ax－3a（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），经过点A的直线l：y＝kx＋b与y轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．

（1）直接写出点A的坐标，并求直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）； 5

（2）点E是直线l上方的抛物线上的动点，若△ACE的面积的最大值为 ，求a的值；

4

（3）设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否成为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．

图1 备用图

动感体验

请打开几何画板文件名“15成都28”，拖动点E在直线AD上方的抛物线上运动，可以体验到，当EC⊥AC时，△ACE的面积最大．点击屏幕左下角的按钮“第（3）题”，拖动点H在y轴正半轴运动，观察点Q和Q′，可以看到点Q和点Q′都可以落在抛物线上．

思路点拨

1．过点E作x轴的垂线交AD于F，那么△AEF与△CEF是共底的两个三角形． 2．以AD为分类标准讨论矩形，当AD为边时，AD与QP平行且相等，对角线AP＝QD；当AD为对角线时，AD与PQ互相平分且相等．

满分解答

（1）由y＝ax2－2ax－3a＝a(x＋1)(x－3)，得A(－1, 0)． 由CD＝4AC，得xD＝4．所以D(4, 5a)．

由A(－1, 0)、D(4, 5a)，得直线l的函数表达式为y＝ax＋a． （2）如图1，过点E作x轴的垂线交AD于F．

设E(x, ax2－2ax－3a)，F(x, ax＋a)，那么EF＝yE－yF＝ax2－3ax－4a．

11EF(xE?xA)?EF(xE?xC) 22111325＝EF(xC?xA)＝(ax2?3ax?4a)＝a(x?)2?a， 22228252552得△ACE的面积的最大值为?a．解方程?a?，得a??．

8845由S△ACE＝S△AEF－S△CEF＝

（3）已知A(－1, 0)、D(4, 5a)，xP＝1，以AD为分类标准，分两种情况讨论： ①如图2，如果AD为矩形的边，那么AD//QP，AD＝QP，对角线AP＝QD． 由xD－xA＝xP－xQ，得xQ＝－4．

当x＝－4时，y＝a(x＋1)(x－3)＝21a．所以Q(－4, 21a)． 由yD－yA＝yP－yQ，得yP＝26a．所以P(1, 26a)．

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由AP2＝QD2，得22＋(26a)2＝82＋(16a)2． 整理，得7a2＝1．所以a??7267．此时P(1，?)． 77②如图3，如果AD为矩形的对角线，那么AD与PQ互相平分且相等． 由xD＋xA＝xP＋xQ，得xQ＝2．所以Q(2,－3a)． 由yD＋yA＝yP＋yQ，得yP＝8a．所以P(1, 8a)． 由AD2＝PQ2，得52＋(5a)2＝12＋(11a)2． 整理，得4a2＝1．所以a??．此时P(1，?4)．

图1 图2 图3

12考点伸展

第（3）题也可以这样解．设P(1,n)．

①如图2，当AD时矩形的边时，∠QPD＝90°，所以

AMDN55a?n，即． ??MDNP?5a33?5a23?5a23解得n?．所以P(1,)．所以Q(?4,)．

aaa将Q(?4,)代入y＝a(x＋1)(x－3)，得

3a73． ?21a．所以a??7a②如图3，当AD为矩形的对角线时，先求得Q(2,－3a)． 由∠AQD＝90°，得

?3a21AGQK，即．解得a??． ??GQKD3?3a?5a2例2 2014年陕西省中考第24题

如图1，已知抛物线C：y＝－x2＋bx＋c经过A(－3,0)和B(0, 3)两点．将这条抛物线的

顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．

（1）求抛物线C的表达式； （2）求点M的坐标；

（3）将抛物线C平移到抛物线C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“14陕西24”，拖动右侧的点M′上下运动，可以体验到，以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有四种情况．

思路点拨

1．抛物线在平移的过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．

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2．平行四边形的面积为16，底边MN＝4，那么高NN′＝4． 3．M′N′＝4分两种情况：点M′在点N′的上方和下方． 4．NN′＝4分两种情况：点N′在点N的右侧和左侧．

满分解答

（1）将A(－3,0)、B(0, 3)分别代入y＝－x2＋bx＋c，得 ??9?3b?c?0, 解得b＝－2，c＝3． ?c?3.?所以抛物线C的表达式为y＝－x2－2x＋3．

（2）由y＝－x2－2x＋3＝－(x＋1)2＋4，得顶点M的坐标为(－1,4)．

（3）抛物线在平移过程中，M′N′与MN保持平行，当M′N′＝MN＝4时，以点M、N、M′、N′为顶点的四边形就是平行四边形．

因为平行四边形的面积为16，所以MN边对应的高NN′＝4． 那么以点M、N、M′、N′为顶点的平行四边形有4种情况：

抛物线C直接向右平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）； 抛物线C直接向左平移4个单位得到平行四边形MNN′M′（如图2）； 抛物线C先向右平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N（如图′3）； 抛物线C先向左平移4个单位，再向下平移8个单位得到平行四边形MNM′N（如图′3）．

图2 图3

考点伸展

本题的抛物线C向右平移m个单位，两条抛物线的交点为D，那么△MM′D的面积S关于m有怎样的函数关系？

如图4，△MM′D是等腰三角形，由M(－1,4)、M′(－1＋m, 4)，可得点D的横坐标为

m?2

． 2

m2m2m?22

将x?代入y＝－(x＋1)＋4，得y???4．所以DH＝?4．

4421m21所以S＝m(?4)?m3?2m．

248图4

例3 2013年上海市松江区中考模拟第24题

如图1，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(0, 1)、B(4, 3)两点．

（1）求抛物线的解析式； （2）求tan∠ABO的值；

（3）过点B作BC⊥x轴，垂足为C，在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N，交抛物线于点M，若四边形MNCB为平行四边形，求点M的坐标．

图1

动感体验

请打开几何画板文件名“13松江24”，拖动点N在直线AB上运动，可以体验到，以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个，符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个．