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第1讲 能量和动量观点在力学中的应用

1．(多选)(2016·全国卷Ⅱ，21)如图1所示，小球套在光滑的竖直杆上，轻弹簧一端固定于O点，另一端与小球相连。现将小球从M点由静止释放，它在下降的过程中经过了N点。π

已知在M、N两点处，弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<。在小球从M点运动

2到N点的过程中( )

图1

A．弹力对小球先做正功后做负功

B．有两个时刻小球的加速度等于重力加速度 C．弹簧长度最短时，弹力对小球做功的功率为零

D．小球到达N点时的动能等于其在M、N两点的重力势能差

π

解析 因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，且∠ONM<∠OMN<，M处的弹簧处于压

2缩状态，N处的弹簧处于伸长状态，则弹簧的弹力对小球先做负功后做正功再做负功，选项A错误；当弹簧水平时，竖直方向的力只有重力，加速度为g；当弹簧处于原长位置时，小球只受重力，加速度为g，则有两个时刻的加速度大小等于g，选项B正确；弹簧长度最短时，即弹簧水平，弹力与速度垂直，弹力对小球做功的功率为零，选项C正确；由动能定理得，WF＋WG＝ΔEk，因M和N两点处弹簧对小球的弹力大小相等，弹性势能相等，则由弹力做功特点知WF＝0，即WG＝ΔEk，选项D正确。 答案 BCD

2．(2015·全国卷Ⅱ，17)一汽车在平直公路上行驶。从某时刻开始计时，发动机的功率P随时间t的变化如图2所示。假定汽车所受阻力的大小f恒定不变。下列描述该汽车的速度

v随时间t变化的图线中，可能正确的是( )

1

图2

解析 当汽车的功率为P1时，汽车在运动过程中满足P1＝F1v，因为P1不变，v逐渐增大，所以牵引力F1逐渐减小，由牛顿第二定律得F1－f＝ma1，f不变，所以汽车做加速度减小的加速运动，当F1＝f时速度最大，且vm＝＝。当汽车的功率突变为P2时，汽车的牵引力突增为F2，汽车继续加速，由P2＝F2v可知F2减小，又因F2－f＝ma2，所以加速度逐渐减小，直到F2＝f时，速度最大vm′＝，以后匀速运动。综合以上分析可知选项A正确。 答案 A

11

3．(2016·全国卷Ⅲ，24)如图3，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定

42轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方

2与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。

4

P1P1F1fP2fRR

图3

(1)求小球在B、A两点的动能之比；

(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。

解析 (1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，由机械能守恒得

REkA＝mg·①

4

设小球在B点的动能为EkB，同理有 5REkB＝mg·②

4

由①②式得

EkB＝5③ EkA2

(2)若小球能沿轨道运动到C点，小球在C点所受轨道的正压力FN应满足FN≥0④ 设小球在C点的速度大小为vC，由牛顿运动定律和向心加速度公式有

v2CFN＋mg＝m⑤

R2

由④⑤式得，vC应满足

mg≤m2vC2

R⑥

R12

由机械能守恒有mg·＝mvC⑦

42

由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。 答案 (1)5∶1 (2)能，理由见解析

4．(2016·全国卷Ⅱ，25)轻质弹簧原长为2l，将弹簧竖直放置在地面上，在其顶端将一质量为5m的物体由静止释放，当弹簧被压缩到最短时，弹簧长度为l。现将该弹簧水平放置，一端固定在A点，另一端与物块P接触但不连接。AB是长度为5l的水平轨道，B端与半径为l的光滑半圆轨道BCD相切，半圆的直径BD竖直，如图4所示。物块P与AB间的动摩擦因数μ＝0.5。用外力推动物块P，将弹簧压缩至长度l，然后放开，P开始沿轨道运动，重力加速度大小为g。

图4

(1)若P的质量为m，求P到达B点时速度的大小，以及它离开圆轨道后落回到AB上的位置与B点之间的距离；

(2)若P能滑上圆轨道，且仍能沿圆轨道滑下，求P的质量的取值范围。

解析 (1)依题意，当弹簧竖直放置，长度被压缩至l时，质量为5m的物体的动能为零，其重力势能转化为弹簧的弹性势能。由机械能守恒定律知，弹簧长度为l时的弹性势能为

Ep＝5mgl①

设P的质量为M，到达B点时的速度大小为vB，由能量守恒定律得

Ep＝Mv2B＋μMg·4l②

联立①②式，取M＝m并代入题给数据得

1

2

vB＝6gl③

若P能沿圆轨道运动到D点，其到达D点时的向心力不能小于重力，即P此时的速度大小v应满足

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