内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:31:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
∵DC∥AB, ∴PQ⊥AB,
∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ACD=45°,
∴△PEC是等腰直角三角形, ∴PE=PC,
设PC=x,则PE=x,PD=4-x,EQ=4-x, ∴PD=EQ,
∵∠DPE=∠EQF=90°,∠PED=∠EFQ, ∴△DPE≌△EQF, ∴DE=EF, ∵DE⊥EF,
∴△DEF是等腰直角三角形, 易证明△DEC≌△BEC, ∴DE=BE, ∴EF=BE, ∵EQ⊥FB,
1
∴FQ=BQ= BF,
2
∵AB=4,F是AB的中点, ∴BF=2,
∴FQ=BQ=PE=1,
∴CE=2 ,PD=4-1=3,
22
Rt△DAF中,DF=4+2=25 , DE=EF=10 , 如图2,∵DC∥AB,
∴△DGC∽△FGA, CGDCDG4
∴=== =2, AGAFFG2
∴CG=2AG,DG=2FG,
125∴FG=×25= ,
3322
∵AC=4+4=42 ,
282∴CG=×42= ,
338252∴EG=-2= ,
33
连接GM、GN,交EF于H, ∵∠GFE=45°,
∴△GHF是等腰直角三角形,
25310
∴GH=FH== ,
32∴EH=EF-FH=10-
10210
= , 33
10
, 3
由折叠得:GM⊥EF,MH=GH=∴∠EHM=∠DEF=90°, ∴DE∥HM,
∴△DEN∽△MNH,
DEENMHNH10EN∴= =3,
10NH∴= , 3
∴EN=3NH,
210
∵EN+NH═EH= ,
3∴EN=
10 , 2
2101010
∴NH=EH-EN=-= ,
326
Rt△GNH中,GN=GH+NH=
22
(
10210252
)+()= , 366
由折叠得:MN=GN,EM=EG,
10525252+10++= ; 2632
解法二:如图3,过G作GK⊥AD于K,作GR⊥AB于R, ∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
∵AC平分∠DAB, ∴GK=GR,
1
S△ADG2AD﹒KGAD4∴=== =2, S△AGF1AF2
AF﹒GR21
S△ADG2DG﹒h∵= =2, S△AGF1
GF﹒h2∴ =2,
DGGFS△DNFDFDN同理,== =3,
S△MNFFMMN其它解法同解法一,
10525252+10++= ; 2632
解法三:如图4,过E作EP⊥AP,EQ⊥AD, 可得:∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
∵AC是对角线, ∴EP=EQ,
易证△DQE和△FPE全等,
∴DE=EF,DQ=FP,且AP=EP, 设EP=x,则DQ=4-x=FP=x-2, 解得x=3,所以PF=1,
22
∴AE=3+3=32 , ∵DC∥AB,
∴△DGC∽△FGA,
282
∴同解法一得:CG=×42= ,
338252
∴EG=-2= ,
33
142
,
33
过G作GH⊥AB,过M作MK⊥AB,过M作ML⊥AD, 则易证△GHF≌△FKM全等,
42
∴GH=FK= ,HF=MK= ,
33
AG=AC=
410210
∵ML=AK=AF+FK=2+= ,DL=AD-MK=4-= ,
3333
即DL=LM, ∴∠LDM=45°
∴DM在正方形对角线DB上, 过N作NI⊥AB,则NI=IB, 设NI=y, ∵NI∥EP ∴=
∴= , 31
解得y=1.5,
所以FI=2-y=0.5, ∴I为FP的中点, ∴N是EF的中点,
10
∴EN=0.5EF= ,
2
∵△BIN是等腰直角三角形,且BI=NI=1.5,
31022325
∴BN=2 ,BK=AB-AK=4-= ,BM=2 ,MN=BN-BM=2-2=2 ,
2333236∴△EMN的周长=EN+MN+EM=
10525252+10
++= . 2632
NIFIEPFPy2-y
同类题型3.2 如图,∠MON=40°,点P是∠MON内的定点,点A、B分别在OM,ON上移动,当△PAB周长最小时,则∠APB的度数为( ) A.20° B.40° C.100° D.140°
解:如图所示:
分别作点P关于OM、ON的对称点P′、P″,连接OP′、OP″、P′P″,P′P″交OM、ON于点A、B,
连接PA、PB,此时△PAB周长的最小值等于P′P″. 如图所示:由轴对称性质可得,
OP′=OP″=OP,∠P′OA=∠POA,∠P″OB=∠POB, 所以∠P′OP″=2∠MON=2×40°=80°,
所以∠OP′P″=∠OP″P′=(180°-80°)÷2=50°, 又因为∠BPO=∠OP″B=50°,∠APO=∠AP′O=50°,