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江苏技术师范学院20—20 学年第 学期 《离散数学》试卷(20)参考答案与评分标准
一、单项选择题(本大题共5道小题,每小题2分,共10分) 1.布尔代数式ab?abc?(b?c)=( B )。
A.a?b B.b?c C.b?c D.b?c
2.设个体域为正整数集,公式?x?y(xy=y)和?x?y(x+y=y)的真值分别是( B )。
A.0和0 B.0和1 C. 1和0
D. 1和1
3.I是整数集合,代数系统的单位元是( B )。
A.1 B.0 C.0和1
D.不存在
4.A,B,C是三个集合,下列推理正确的是( A )。
A. A?B,B?C => A?C B. A?B,B?C => A∈B C. A∈B,B∈C => A∈C D. A∩B=A∩C => B=C
5.设Q(x):x是有理数,F(x):x可表成分数;则“所有的有理数均可表成分数”可符号化为:( B )。
A.?xQ(x)?F(x)
B.?x(Q(x)?F(x))
C.?xQ(x)?F(x) D.?x(Q(x)?F(x))
二、填空题(本大题共10空,每空2分,共20分)
1.设集合A?{1,2,3,{1,2},{3}},B?{2,{2,3},{1}},则A?B={1,3,{1,2},{3},{2,3},{1}} 。 2.设A={a,b},求A×P(A)={,,,,,,,
}。
3.设T是树,T有15个结点,则T的总度数 28 。
n4.图G有n个顶点和m条边,其中顶点集V??v1,v2,?,vn?,则
?deg(vi)? 2m 。
i?15.有理数集Q上运算?定义为:a?b?a?b?ab,则?Q,??的么元是 0 。
《离散数学》试卷20答案 第 1 页 共 6 页
6.实数集合R上的大于等于关系是一个 偏序 (等价、偏序、相容)关系。 7.谓词公式?xP(x,y)∧?x(Q(x,z)→?z?yR(x,y,z))中量词?x的辖域是_ _____ _ Q(x,z)→?z?yR(x,y,z) _。
8.设A={1,2,3},A上二元关系R的关系图如下。R具有的性质是 反自反性 。
9.设Q(x):x是有理数,Z(x):x是整数,“有的有理数是整数”可符号化为:
?x?Q(x)?Z(x)?。
10.设p:小王有空,q:小王逛街,r:小王很累。命题“如果小王有空,小王就去逛街,除非小王很累”符号化为 r→(p→q)或(r∧p)→q 。
三、判断题(本大题共10小题,每小题1分,共10分)
正确的打“√”,错误的打“×”
1. (√)?x(P(x)?Q(x))??xP(x)??xQ(x)。 2. (×)设A,B为无限集,则A?B还是无限集。 3. (√)?xF(x)??xF(x)是逻辑有效式。 4. (√)n阶非平凡无向树T至少有两片树叶。
5. (×)A={1,2,3,4,5},A上关系R={
?的零元是?。
8. (×)群中的元素未必有逆元。
9. (√)命题公式(p?q)?(p?q)是重言式。
10. (×)若7+8>18,则三角形有4条边。这句话是假命题。
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四、证明题(本大题共3小题,每1-2,4小题各6分,每3小题8分,共26分) 1.设N={1,2,3,??},并设~是 N×N上的关系,其定义为:若a/b=c/d, 则有(a,b)~(c,d),试证~是一个等价关系。
证明:a/a=a/a=1,故(a,a)~(a,a),满足自反性。(2分)
(a,b)~(c,d)?a/b=c/d?c/d= a/b?(c,d)~(a,b),满足对称性。(2分) (a,b)~(c,d)?(c,d)~(e,f)?a/b=c/d?c/d=e/f?a/b=e/f?(a,b)~(e,f),满足传递性。(2分)
2.证明:p?(q?证明:p?(q?r) ??p?(?q?r) ?(?p??q)?r ??(p?q)?r
?(p?q)?r (6分)
3. 在谓词逻辑中符号化下述命题,并推证之。
凡人都需要呼吸。小李是人。所以小李需要呼吸。 证明:令F(x):x是人,G(x):x需要呼吸,a:小李,(2分) 前提:?x(F(x)?G(x)),F(a) (2分) 结论:G(a) 推演:
(1)F(a) 前提引入 (2)?x(F(x)?G(x)) 前提引入 (3) F(a)?G(a) (2)UI
(4)G(a) (1)(3)假言推理 (4分)
4.设G为群,如果?a?G,都有a2 = e,证明:G为Abel群(即G为交换群)。 证明:a2 = a ? a = a?1 (2分)
任取 x,y?G,xy = (xy)?1 = y?1x?1 = yx (2分)
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