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2016年普通高等学校招生全国统一考试数学（理）（北京卷）

一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1．（5分）已知集合A＝{x||x|＜2}，集合B＝{﹣1，0，1，2，3}，则A∩B＝（ ） A．{0，1}

B．{0，1，2}

C．{﹣1，0，1}

D．{﹣1，0，1，2}

2．（5分）若x，y满足，则2x+y的最大值为（ ）

A．0 B．3 C．4 D．5

3．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a值为1，则输出的k值为（

A．1

B．2

C．3

D．4

4．（5分）设，是向量，则“||＝||”是“|+|＝|﹣|”的（ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

5．（5分）已知x，y∈R，且x＞y＞0，则（ ） A．

﹣

＞0

B．sinx﹣siny＞0

C．（）x﹣（

）y＜0

D．lnx+lny＞0

6．（5分）某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为（ ）

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）

）

A．

B．

C．

D．1

7．（5分）将函数y＝sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′

位于函数y＝sin2x的图象上，则（ ） A．t＝

，s的最小值为

B．t＝

，s的最小值为

C．t＝，s的最小值为 D．t＝，s的最小值为

8．（5分）袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三个空盒．每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个放入乙盒，否则就放入丙盒．重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（ ） A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C．乙盒中红球不多于丙盒中红球 D．乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分．

9．（5分）设a∈R，若复数（1+i）（a+i）在复平面内对应的点位于实轴上，则a＝ ． 10．（5分）在（1﹣2x）的展开式中，x的系数为 ．（用数字作答） 11．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ﹣＝ ．

12．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3+a5＝0，则S6＝ ．

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6

2

ρsinθ﹣1＝0与圆ρ＝2cosθ交于A，B两点，则|AB|

13．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲

线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝ ．

14．（5分）设函数f（x）＝．

①若a＝0，则f（x）的最大值为 ；

②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是 ．

三、解答题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）在△ABC中，a+c＝b+（Ⅰ）求∠B的大小； （Ⅱ）求

cosA+cosC的最大值．

2

2

2

ac．

16．（13分）A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如表（单位：小时）：

A班 B班 C班 （Ⅰ）试估计C班的学生人数； 6 6.5 7 7.5 8 6 7 8 9 10 11 12 3 4.5 6 7.5 9 10.5 12 13.5 （Ⅱ）从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一个人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙．假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

（Ⅲ）再从A，B，C三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是7，9，8.25（单位：小时），这3个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为μ1，表格中数据的平均数记为μ0，试判断μ0和μ1的大小．（结论不要求证明）

17．（14分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝

．

（Ⅰ）求证：PD⊥平面PAB；

（Ⅱ）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；

（Ⅲ）在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求

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的值，若不存在，说明理由．