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浙江省2007年10月高等教育自学考试

近世代数试题

课程代码：10025

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设集合A中含有3个元素，集合B中含有5个元素，那么，A与B的积集合A×B中含有___________个元素．( ) A.3 C.15

2.设A＝B＝R(实数集)，如果A到B的映射

B.5 D.8

?：x→x2，?x∈R，

则?是从A到B的( ) A.满射而非单射 C.一一映射

B.单射而非满射 D.既非单射也非满射

3.以下关系中，哪个是集合A的元间的等价关系？( ) A.A=R(实数集)，关系～：a～b?a-b>0 B.A=R(实数集)，关系～：a～b?a-b≥0 C.A=Z(整数集)，关系～：a～b?a︱b

D.A=Z(整数集)，给定正整数n,关系～：a～b?a≡b(mod n)

4.设S3＝{(1)，(12)，(13)，(23)，(123)，(132)}，那么，在S3中可以与(12)交换的所有元素有( ) A.(1)，(12) C.(1)，(123)

B.(12)，(13)，(23) D.S3中的所有元素

5.下列集合关于所给的运算不作成环的是( ) A实系数多项式全体Ｒ［x］关于多项式的加法与乘法

B.整数集Z关于数的加法和新给定的乘法\o\：?m， n∈Z， mon＝1 C.复数域Ｃ上的n级矩阵全体Mn(Ｃ)关于矩阵的加法与乘法 D.Q(i)＝{a＋bi|a，b∈Q，i2＝－1}关于数的加法和乘法

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

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6.设Z7是模７的剩余类加群，那么Z7有___________个子群．

7.在５次对称群S5中，σ＝(13)，τ＝(1243)-1(325)，那么στ＝___________(表示成若干个没有公共数字的循环置换之积)．

8.如果G是一个含有10个元素的群，那么，根据Lagrange定理知，对于?a∈G，元素a的阶只可能是___________． 9.在3次对称群S3中，H＝{(1)，(12)}是S3的一个子群，则(13)H＝___________．

10.设Z4＝{［0］，［1］，［2］，［3］}是以4为模的剩余类环，则Z4中的零因子是___________． 11.剩余类环Z11的可逆元有___________个.

12.设Z［x］是整系数多项式环，则Z［x］的理想(2,x)＝___________． 13.唯一分解环与欧氏环的关系是___________.

14.设Q为有理数域，S={2+i}，则Q(S)=___________． 15.

3+5在有理数域Q上的极小多项式是___________．

三、解答题（本大题共3小题，第16小题5分,第17，18小题各12分,共29分） 16.若A={a，b，c}对于代数运算“o”来说作成群，试作出A的代数运算表. 17.找出模14的剩余类环Z14的所有子环，这些子环是否都是理想？

??ab????0x?????18.设R=??关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=a,b?Zx?Z????，证明：I是R的理想，问商环R/I?00??00????????由哪些元素组成？

四、证明题（本大题共3小题，第19小题6分,第20，21小题各10分,共26分） 19.在整数环Ｚ中，证明：(3，7)=(1).

20.证明：若群Ｇ中的每个元都适合方程x2=e（其中e是群Ｇ的单位元），则Ｇ是交换群. 21.设R是主理想环，则N是R的非零极大理想的充要条件是N=(p)，其中p是R的素元. 百度文库：专注、专心、专一为您服务！

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