内容发布更新时间 : 2024/11/8 12:36:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

重积分

§ 1 二重积分的概念与性质 1、由二重积分的几何意义求二重积分的值

I???x2?y2dxdy 其中D为：x2?y2?4

D ( I???x2?y2dxdy=?.4.2?.?.4.2?D1316?) 32、设D为圆域x2?y2?a2,a?0,若积分

??D?=a?x?ydxdy12，求a的值。

222解：

??D3a?x?ydxdy=2.3?.a a?8

2221413、设D由圆(x?2)2?(y?1)2?2围成,求??3dxdy

D 解：由于D的面积为2?, 故??3dxdy=6?

D4、设D：{(x,y)|3?x?5,0?y?1}，

I1???ln(x?y)dxdy,I2???[ln(x?y)]2dxdy，比较I1, 与I2的大小关系

DD解：在D上，ln(x?y)? [ln(x?y)]2,故I1?I2

5、 设f(t)连续，则由平面 z=0，柱面 x2?y2?1, 和曲面z?[f(xy)]2所围的

立体的体积，可用二重积分表示为V???[f(xy)]2dxdy

D:x2?y2?16、根据二重积分的性质估计下列积分的值

??sin2xsin2ydxdy D:0?x??,0?y??

D (0?22sinxsinydxdy??2) ??D7、设f(x,y)为有界闭区域D：x2?y2?a2上的连续函数，求 lim1a?0?a2??f(x,y)dxdy

D解：利用积分中值定理及连续性有lim

1a?0?a2??f(x,y)dxdy?limf(?,?)?f(0,0)

D8a?0 § 2 二重积分的计算法

xdxdy，其中D是由抛物线y?x2?1与直线y=2x，x=0所围成的区y?1D域，则I=（ ）

7191 A ： ?ln3?ln2? B ： ln3?ln2?

82829191 C ： ln3?ln2? D ： ln3?ln2?

8482 2、设D是由不等式x?y?1所确定的有界区域，则二重积分??(x?y)dxdy为

1、设I???D （ ）

12A ：0 B： C ： D： 1

333、设D是由曲线xy=1与直线x=1,x=2及y=2所围成的区域，则二重积分 ??yexydxdy为（ ）

D1111 A：e4?e2?e B ：e4?e2?e?e2

2222111 C ：e4?e D：e4?e2

22214、 设f(x,y)是连续函数，则二次积分?dx??101?x2x?1f(x,y)dy为（ ）

1y?1 A ?0dy??1f(x,y)dx??1dy??1C ?0dy??1f(x,y)dx??1dy??11y?121y?12y2?1f(x,y)dx B ?0dy??1f(x,y)dx

?y2?1f(x,y)dx D ?0dy??12?y2?1f(x,y)dx

5、设有界闭域D1、D2关于oy轴对称，f是域D=D1+D2上的连续函数，则二重

积分??f(x2y)dxdy为（ ）

D A 2??f(x2,y)dxdy B 4??f(x2,y)dxdy

D1D2 C 4??f(x2,y)dxdy D

D112f(x,y)dxdy ??2D26、设D1是由ox轴、oy轴及直线x+y=1所围成的有界闭域，f是域D:|x|+|y|≤1

上的连续函数，则二重积分??f(x2y2)dxdy为（ ）

D A2??f(x2,y2)dxdy B 4??f(x2,y2)dxdy

D1D1 C 8??f(x2,y2)dxdy D

D1122f(x,y)dxdy ??2D17、.设f(x,y)为连续函数，则?dx?f(x,y)dy为( )

00ax A ?dy?f(x,y)dx B ?dy?f(x,y)dx

0y0aaaay C ?dy?f(x,y)dx D ?dy?f(x,y)dx

0000ayax8、求 I???D3x29dxdyD: ，其中 由x=2,y=x,xy=1所围成. () 24y

lnx9、设I=?dx?1 I=?dx?130lnxf(x,y)dy,交换积分次序后I为：

ln330e0f(x,y)dy=?dy?yf(x,y)dx

2x44?x2010、改变二次积分的次序： ?0dx?0f(x,y)dy??2dx?0f(x,y)dy = ?xdx?1x2x1y2dx

11、设 D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1} ,求??ex?ydxdy的值

D 解：??eDx?ydxdy=?dx?e001l1x?ydy?(?edx)(?eydy)?(e?1)2

001x1112设 I=??R2?x2?y2dxdy,其中D是由x2+y2=Rx所围城的区域，求I (?R3)

3D13、计算二重积分??|x2?y2?4|dxdy，其中D是圆域x2?y2?9

D 解：??|x2?y2?4|dxdy=?d??(4?r2)rdr??d??(r2?4)rdr?D00022?22?341? 214、计算二重积分??eDmax{x2,y2}dxdy，其中D={(x,y)| 0≤x≤1,0≤y≤1}

x2 解： ??emax{xD2,y2}dxdy=?dx?exdy??dy?eydx?e?1

000011y215、计算二重积分??Dx?ydxdy，D：x2?y2?1,x?y?1. 22x?y?1x?yr(cos??sin?)4??2d? 解：??2= dxdyrdr?122??02rcos??sin?Dx?y

§ 3 三重积分

1、设?是由x=0，y=0，z=0及x+2y+z=1所围成的空间有界域，则???xdxdydz为

?( )

A ?dx?dy?00111?x?2y0xdz B ?dx?011?y20dz?1?x?2y0xdy