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【高考领航】2016高三数学一轮复习 第8章 第7课时 抛物线课时
训练 文 新人教版
A级 基础演练
1．已知AB是抛物线y＝2x的一条焦点弦，|AB|＝4，则AB中点C的横坐标是( ) A．2 3C. 2
1B. 25D. 2
2
解析：选C.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝4，又p＝1，所以x1＋x2＝3，所以点C的横坐标是
x1＋x23
2
＝. 2
2
2．(2014·高考辽宁卷)已知点A(－2，3)在抛物线C：y＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为( ) 4A．－ 33C．－ 4
B．－1 1D．－
2
解析：选C.求出F点的坐标，利用斜率公式可得直线AF的斜率． ∵点A(－2，3)在抛物线C的准线上，∴＝2，∴p＝4.
2∴抛物线的方程为y＝8x，则焦点F的坐标为(2，0)． 0－33
又A(－2，3)，根据斜率公式得kAF＝＝－.
2＋24
3．(2015·贵阳监测)在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y＝2px(p>0)的焦点为F，M是抛物线C上的点，若△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，且该圆面积为9π，则p＝( ) A．2 C．6
B．4 D．8
2
2
p解析：选B.∵△OFM的外接圆与抛物线C的准线相切，∴△OFM的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，且圆心在抛物线上．∵圆面积为9π，∴圆的半径为3， ∴＋＝3，p＝4，故选B.
24
4．抛物线y＝2px(p>0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且|MF|＝4|OF|，△
2
ppMFO的面积为43，则抛物线方程为( )
A．y＝6x C．y＝16x
22
B．y＝8x 152
D．y＝x
2
2
pp3p解析：选B.依题意，设M(x，y)，|OF|＝，所以|MF|＝2p，x＋＝2p，x＝，y＝3p，又
222
1p2
△MFO的面积为43，所以××3p＝43，p＝4，所以抛物线方程为y＝8x，选择B.
225．已知等边△ABF的顶点F是抛物线C1：y＝2px(p>0)的焦点，顶点B在抛物线的准线l上且AB⊥l，则点A的位置( ) A．在C1开口内 C．在C1开口外
B．在C1上 D．与p值有关
2
p?p??3p?解析：选B.设B?－，m?，由已知有AB中点的横坐标为，则A?，m?，△ABF是边长|AB|2?2??2?
＝2p的等边三角形，即|AF|＝
?3p－p?＋m2＝2p，∴p2＋m2＝4p2，∴m＝±3p，∴
?22???
2
?3p?A?，±3p?，代入y2＝2px中，得点A在抛物线上，故选B. ?2
?
?1?2
6．若抛物线x＝ay过点A?1，?，则点A到此抛物线的焦点的距离为__________．
?4?
122
解析：由题意可知，点A在抛物线x＝ay上，所以1＝a，解得a＝4，得x＝4y.由抛物线的
44
定义可知点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，所以点A到抛物线的焦点的距离为yA＋
415＝＋1＝. 445答案： 4
7．动圆过点(1，0)，且与直线x＝－1 相切，则动圆的圆心的轨迹方程为__________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x，y)，则圆心到点(1，0)的距离与到直线x＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y＝4x. 答案：y＝4x
8．已知抛物线y＝4x，过焦点F的直线与抛物线交于A、B两点，过A、B分别作y轴垂线，垂足分别为C、D，则|AC|＋|BD|的最小值为__________．
解析：由题意知F(1，0)，|AC|＋|BD|＝|AF|＋|FB|－2＝|AB|－2，即|AC|＋|BD|取得最小值时当且仅当|AB|取得最小值．依抛物线定义知当|AB|为通径，即|AB|＝2p＝4时，为最小值，所以|AC|＋|BD|的最小值为2.
2
2
2
答案：2
9．已知过抛物线y＝2px(p>0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1 →→→ (2)O为坐标原点，C为抛物线上一点，若OC＝OA＋λ OB，求λ的值． 解析：(1)直线AB的方程是y＝22?x－?， ?2?与y＝2px联立，从而有4x－5px＋p＝0， 5p所以：x1＋x2＝， 4 由抛物线定义得：|AB|＝x1＋x2＋p＝9，所以p＝4， 从而抛物线方程是y＝8x. (2)由p＝4，4x－5px＋p＝0可简化为x－5x＋4＝0， 从而x1＝1，x2＝4，y1＝－22，y2＝42， 从而A(1，－22)，B(4，42)； → 设OC＝(x3，y3)＝(1，－22)＋λ(4，42) ＝(4λ＋1，42λ－22)． 又y3＝8x3，即[22(2λ－1)]＝8(4λ＋1)， 即(2λ－1)＝4λ＋1，解得λ＝0，或λ＝2. B级 能力突破 1．(2014·高考新课标全国卷Ⅰ)已知抛物线C：y＝8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，→→ Q是直线PF与C的一个交点，若FP＝4 FQ，则|QF|＝( ) 7A. 2C．3 5B. 2D．2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ? p? →→ 解析：选C.利用FP＝4 FQ转化长度关系，再利用抛物线定义求解． →→→→∵FP＝4 FQ，∴|FP|＝4|FQ|， ∴∴ |PQ|3 ＝.如图，过Q作QQ′⊥l，垂足为Q′，设l与x轴的交点为A，则|AF|＝4， |PF|4 |PQ||QQ′|3 ＝＝， |PF||AF|4 ∴|QQ′|＝3，根据抛物线定义可知|QQ′|＝|QF|＝3，故选C. 2．(2014·高考辽宁卷)已知点A(－2，3)在抛物线C：y＝2px的准线上，过点A的直线与C2