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2019年
配餐作业(七) 二次函数与幂函数
(时间：40分钟)
一、选择题
1．已知幂函数f(x)＝x的图象过点(4,2)，若f(m)＝3，则实数m的值为( ) A.3 C．±9
αααB．±3 D．9
2α1
1
解析 由函数f(x)＝x过点(4,2)，可得4＝2＝2，所以α＝，所以f(x)＝x2＝x，故f(m)＝m＝3
2
?m＝9。故选D。
答案 D
2．如果函数f(x)＝x－ax－3在区间(－∞，4]上单调递减，则实数a满足的条件是( ) A．a≥8 C．a≥4
B．a≤8 D．a≥－4
2
解析 函数图象的对称轴为x＝，由题意得≥4，解得a≥8。故选A。
22答案 A
3．(2017·哈尔滨模拟)已知f(x)＝ax－x－c，若f(x)>0的解集为(－2,1)，则函数y＝f(－x)的大致图象是( )
2
aa
解析 解法一：由f(x)>0的解集为(－2,1)，可得a＝－1，c＝－2，所以f(x)＝－x－x＋2，f(－x)＝－
2
x2＋x＋2＝－(x＋1)(x－2)，故选C。
解法二：由f(x)>0的解集为(－2,1)，可知函数f(x)的大致图象为选项D，又函数f(x)与f(－x)的图象关于y轴对称，所以f(－x)的大致图象为选项C。
答案 C
4．已知二次函数f(x)满足f(2＋x)＝f(2－x)，且f(x)在[0,2]上是增函数，若f(a)≥f(0)，则实数a的取值范围是( )
A．[0，＋∞) C．[0,4]
B．(－∞，0]
D．(－∞，0]∪[4，＋∞)
2＋x＋2－x解析 由f(2＋x)＝f(2－x)可知，函数f(x)图象的对称轴为x＝＝2，又函数f(x)在[0,2]上单
2调递增，所以由f(a)≥f(0)可得0≤a≤4。故选C。
答案 C
2019年
5．方程x＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，则实数a的取值范围为( )
2
?23?A.?－，＋∞? ?5??23?C.?－，1? ?5?
2
B．(1，＋∞) 23??D.?－∞，－?
5??
解析 解法一：令f(x)＝x＋ax－2，由题意知f(x)的图象与x轴在[1,5]上有交点，又f(0)＝－2<0， ∴?
??f??f1≤0，5≥0，
??a－1≤0，
即???5a＋23≥0，
23
∴－≤a≤1。故选C。
5
222
解法二：方程x＋ax－2＝0在区间[1,5]上有根，即方程a＝－x在区间[1,5]上有根，而函数y＝－x在
xx2323
区间[1,5]上是减函数，所以－≤y≤1，则－≤a≤1。故选C。
55
答案 C
6．(2016·邵阳模拟)若函数f(x)＝ax＋b|x|＋c(a≠0)有四个单调区间，则实数a，b，c满足( ) A．b－4ac>0，a>0 C．－>0
2a2
2
2
B．b－4ac>0 D．－<0
2a2
bb解析 x>0时，f(x)＝ax＋bx＋c，此时f(x)应该有两个单调区间，∴对称轴x＝－>0；x<0时，f(x)＝
2abbbax2－bx＋c，对称轴x＝<0，∴此时f(x)有两个单调区间，∴当－>0时，f(x)有四个单调区间。故选C。
2a2a答案 C 二、填空题
7．(2016·临川模拟)若(a＋1)3<(3－2a)3，则实数a的取值范围是________。
解析 不等式(a＋1)3<(3－2a)3等价于a＋1>3－2a>0或3－2a 解得a<－1或 32 1－ 1－1－ 1－ ?23?故a的取值范围是(－∞，－1)∪?，?。 ?32??23?答案 (－∞，－1)∪?，? ?32? 8．已知二次函数f(x)是偶函数，且f(4)＝4f(2)＝16，则函数f(x)的解析式为________。 解析 由题意可设函数f(x)＝ax＋c(a≠0)，则f(4)＝16a＋c＝16,4f(2)＝4(4a＋c)＝16a＋4c＝16，解得 2 a＝1，c＝0，故f(x)＝x2。 答案 f(x)＝x 9．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x，若对任意的x∈[t，t＋2]，不等式f(x＋t)≥2f(x)恒成立，则实数t的取值范围是________。 2 2 2019年 解析 ∵当x≥0时，f(x)＝x，且f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在R上是增函数，又f(x＋t)≥2f(x)＝f(2x)， ∴x＋t≥2x，∴t≥(2－1)x。∵x∈[t，t＋2]， ∴t≥(2－1)(t＋2)，∴t≥2。 答案 [2，＋∞) 三、解答题 10．已知函数f(x)＝ax＋bx＋1(a，b为实数，a≠0，x∈R)。 (1)若函数f(x)的图象过点(－2,1)，且方程f(x)＝0有且只有一个根，求f(x)的表达式； (2)在(1)的条件下，当x∈[－1,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求实数k的取值范围。 解析 (1)因为f(－2)＝1，即4a－2b＋1＝1， 所以b＝2a。 因为方程f(x)＝0有且只有一个根， 所以Δ＝b－4a＝0。 所以4a－4a＝0，所以a＝1，所以b＝2。 所以f(x)＝x＋2x＋1。 2 2 2 2 2 ?k－2?2＋1－k－2(2)g(x)＝f(x)－kx＝x＋2x＋1－kx＝x－(k－2)x＋1＝?x－ 2?4?? 2 2 2 。 由g(x)的图象知：要满足题意，则 k－2 2 ≥2或 k－2 2 ≤－1，即k≥6或k≤0， 所以所求实数k的取值范围为(－∞，0]∪[6，＋∞)。 答案 (1)f(x)＝x＋2x＋1 (2)(－∞，0]∪[6，＋∞) 11．已知函数f(x)＝ax＋bx＋1(a，b∈R)，x∈R。 (1)若函数f(x)的最小值为f(－1)＝0，求f(x)的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立，试求k的取值范围。 解析 (1)由题意得f(－1)＝a－b＋1＝0，a≠0，且－∴f(x)＝x＋2x＋1， 单调递减区间为(－∞，－1]，单调递增区间为[－1，＋∞)。 (2)f(x)>x＋k在区间[－3，－1]上恒成立， 转化为x＋x＋1>k在区间[－3，－1]上恒成立。 设g(x)＝x＋x＋1，x∈[－3，－1]， 则g(x)在[－3，－1]上递减。 ∴g(x)min＝g(－1)＝1。 ∴k<1，即k的取值范围为(－∞，1)。 答案 (1)f(x)＝x＋2x＋1，单调递减区间为(－∞，－1]，单调递增区间为[－1，＋∞) 2 222 2 2 b＝－1，∴a＝1，b＝2。 2a